1521.

184.g

TEKST ZADATKA

Ako su x1 x_1 i x2 x_2 rešenja jednačine x2−5x+c=0, x^2 - 5x + c = 0 , odrediti realan parametar c c tako da je: x12+x22=15 x_1^2 + x_2^2 = 15 ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo, iz kvadratne jednačine x2−5x+c=0 x^2 - 5x + c = 0 očitavamo koeficijente.

a=1,b=−5,c=ca = 1, \quad b = -5, \quad c = c

Primenjujemo Vijetove formule x1+x2=−ba x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} i x1⋅x2=ca x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} da bismo izrazili zbir i proizvod rešenja.

x1+x2=5,x1⋅x2=cx_1 + x_2 = 5, \quad x_1 \cdot x_2 = c

Dalje, transformišemo dati uslov x12+x22=15 x_1^2 + x_2^2 = 15 tako da možemo iskoristiti Vijetove formule. Zbir kvadrata možemo zapisati preko kvadrata binoma.

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

Zamenjujemo dobijeni izraz u početni uslov zadatka.

(x1+x2)2−2x1x2=15(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 15

Sada ubacujemo vrednosti koje smo dobili iz Vijetovih formula (x1+x2=5 x_1 + x_2 = 5 i x1⋅x2=c x_1 \cdot x_2 = c ) u dobijenu jednačinu.

52−2c=155^2 - 2c = 15

Računamo vrednost parametra c c rešavanjem dobijene linearne jednačine.

25−2c=1525 - 2c = 15

Prebacujemo nepoznate na jednu stranu, a poznate na drugu stranu jednakosti.

2c=25−15  ⟹  2c=102c = 25 - 15 \implies 2c = 10

Deljenjem sa 2 dobijamo potencijalnu vrednost parametra c. c .

c=5c = 5

Proveravamo da li za c=5 c = 5 jednačina ima realna rešenja, odnosno računamo da li je diskriminanta D≥0. D \ge 0 .

D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅5=25−20=5D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5

Pošto je diskriminanta veća od nule (D=5>0 D = 5 > 0 ), rešenja su realna, pa je dobijena vrednost parametra konačno rešenje zadatka.

c=5c = 5