1524. Jednačine koje se svode na kvadratne

Simetrične jednačine neparnog stepena uvek imaju bar jedno rešenje $x = -1 .$ Proveravamo ovo rešenje i delimo polinom sa $(x + 1) .$

x^5 + 1 + 8,7x^4 + 8,7x + 22,7x^3 + 22,7x^2 = 0

Grupisanjem članova i izvlačenjem zajedničkih faktora, jednačina se transformiše u:

(x + 1)(x^4 + 7,7x^3 + 15x^2 + 7,7x + 1) = 0

Prvo rešenje je $x_1 = -1 .$ Preostali deo je simetrična jednačina četvrtog stepena. Delimo je sa $x^2$ (uz uslov $x \neq 0$ ) i grupišemo članove.

x^2 + 7,7x + 15 + \frac{7,7}{x} + \frac{1}{x^2} = 0

Uvodimo smenu $t = x + \frac{1}{x} .$ Tada je $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 .$ Zamenom u jednačinu dobijamo kvadratnu jednačinu po $t :$

(t^2 - 2) + 7,7t + 15 = 0 \implies t^2 + 7,7t + 13 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći kvadratnu formulu.

t_{1,2} = \frac{-7,7 \pm \sqrt{7,7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2} = \frac{-7,7 \pm \sqrt{59,29 - 52}}{2}

Računamo vrednosti za $t :$

t_1 = \frac{-7,7 + 2,7}{2} = -2,5; \quad t_2 = \frac{-7,7 - 2,7}{2} = -5,2

Vraćamo smenu za $t_1 = -2,5 :$

x + \frac{1}{x} = -2,5 \implies x^2 + 2,5x + 1 = 0

Rešenja ove kvadratne jednačine su:

x_2 = -2; \quad x_3 = -0,5

Vraćamo smenu za $t_2 = -5,2 :$

x + \frac{1}{x} = -5,2 \implies x^2 + 5,2x + 1 = 0

Diskriminanta ove jednačine je $D = 5,2^2 - 4 = 27,04 - 4 = 23,04 ,$ a koren diskriminante je $4,8 .$

x_{4,5} = \frac{-5,2 \pm 4,8}{2}

Dobijamo preostala dva rešenja:

x_4 = -0,2; \quad x_5 = -5

Konačan skup rešenja jednačine je:

x \in \{-5; -2; -1; -0,5; -0,2\}

1524.Jednačine koje se svode na kvadratne