1425. Kompleksni brojevi

Pretpostavimo da je kompleksni broj $z$ dat u algebarskom obliku $z = x + iy ,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi. Zamenjujemo $z$ u polaznu jednačinu.

|x + iy - 2| = |x + iy + 2i|

Grupišemo realne i imaginarne delove unutar modula sa obe strane jednačine.

|(x - 2) + iy| = |x + i(y + 2)|

Primenjujemo definiciju modula kompleksnog broja $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} .$

\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 2)^2}

Kvadriramo obe strane jednačine kako bismo uklonili korene, a zatim razvijamo kvadrate binoma.

(x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2

Razvijamo izraze prema formuli za kvadrat binoma $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 .$

x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4

Potiremo iste članove sa obe strane jednačine ( $x^2 ,$ $y^2$ i $4$ ) i sređujemo preostali izraz.

-4x = 4y

Deljenjem cele jednačine sa 4 dobijamo direktnu vezu između realnog i imaginarnog dela broja $z .$

y = -x

Konačno rešenje su svi kompleksni brojevi kod kojih je imaginarni deo suprotan realnom delu. U kompleksnoj ravni ovo predstavlja pravu liniju.

z = x - ix, \quad x \in \mathbb{R}

1425.Kompleksni brojevi