1436.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Dokazati da je z=z‾ z = \overline{z} ako i samo ako je z z realan broj.

z=z‾  ⟺  z∈Rz = \overline{z} \iff z \in \mathbb{R}
REŠENJE ZADATKA

Pretpostavimo da je kompleksan broj z z dat u algebarskom obliku, gde su x x i y y realni brojevi, a i i imaginarna jedinica.

z=x+iy,x,y∈Rz = x + iy, \quad x, y \in \mathbb{R}

Konjugovano kompleksan broj z‾ \overline{z} dobijamo menjanjem znaka imaginarnog dela.

z‾=x−iy\overline{z} = x - iy

Dokazujemo prvi smer (  ⟹  ):(\implies): Ako je z=z‾, z = \overline{z} , onda je z z realan broj. Izjednačavamo izraze za z z i z‾. \overline{z} .

x+iy=x−iyx + iy = x - iy

Sređujemo jednačinu oduzimanjem x x sa obe strane i prebacivanjem svih članova na jednu stranu.

iy=−iy  ⟹  2iy=0iy = -iy \implies 2iy = 0

Pošto je i≠0, i \neq 0 , zaključujemo kolika mora biti vrednost imaginarnog dela.

y=0y = 0

Ako je y=0, y = 0 , onda broj z z nema imaginarni deo, što znači da je on realan broj.

z=x+i0=x  ⟹  z∈Rz = x + i0 = x \implies z \in \mathbb{R}

Dokazujemo drugi smer (  ⟸  ):(\impliedby): Ako je z z realan broj, onda je z=z‾. z = \overline{z} . Za realan broj važi da je njegov imaginarni deo nula.

z=x+i0,x∈Rz = x + i0, \quad x \in \mathbb{R}

Računamo konjugovanu vrednost takvog broja.

z‾=x−i0=x\overline{z} = x - i0 = x

Zaključujemo da su za realan broj polazna i konjugovana vrednost identične.

z=x=z‾z = x = \overline{z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti