1457.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Dokazati: z1⋅z2‾=z1‾⋅z2‾ \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}

z1⋅z2‾=z1‾⋅z2‾\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo kompleksne brojeve z1 z_1 i z2 z_2 u algebarskom obliku.

z1=a+bi,z2=c+diz_1 = a + bi, \quad z_2 = c + di

Određujemo konjugovano kompleksne vrednosti za oba broja.

z1‾=a−bi,z2‾=c−di\overline{z_1} = a - bi, \quad \overline{z_2} = c - di

Računamo proizvod z1⋅z2 z_1 \cdot z_2 pre primene konjugacije.

z1⋅z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2

Koristeći osobinu i2=−1, i^2 = -1 , grupišemo realni i imaginarni deo proizvoda.

z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)iz_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

Sada nalazimo konjugovanu vrednost dobijenog proizvoda (levu stranu jednakosti).

z1⋅z2‾=(ac−bd)−(ad+bc)i\overline{z_1 \cdot z_2} = (ac - bd) - (ad + bc)i

Zatim računamo proizvod konjugovanih brojeva (desnu stranu jednakosti).

z1‾⋅z2‾=(a−bi)(c−di)=ac−adi−bci+bdi2\overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = (a - bi)(c - di) = ac - adi - bci + bdi^2

Ponovo koristimo i2=−1 i^2 = -1 i sređujemo izraz.

z1‾⋅z2‾=(ac−bd)−(ad+bc)i\overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = (ac - bd) - (ad + bc)i

Upoređivanjem rezultata iz koraka 5 i koraka 7, zaključujemo da su leva i desna strana identične, čime je dokaz završen.

(ac−bd)−(ad+bc)i=(ac−bd)−(ad+bc)i(ac - bd) - (ad + bc)i = (ac - bd) - (ad + bc)i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti