1464.

Kompleksni brojevi

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeću osobinu konjugovano kompleksnih brojeva:

z1−z2‾=z1‾−z2‾\overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2}
REŠENJE ZADATKA

Uvodimo algebarski oblik za kompleksne brojeve z1 z_1 i z2. z_2 . Neka je:

z1=a+bi,z2=c+diz_1 = a + bi, \quad z_2 = c + di

Prvo računamo razliku kompleksnih brojeva z1−z2 z_1 - z_2 grupisanje realnih i imaginarnih delova:

z1−z2=(a−c)+(b−d)iz_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i

Sada primenjujemo definiciju konjugovanja na dobijenu razliku. Konjugovanje menja znak ispred imaginarnog dela:

z1−z2‾=(a−c)−(b−d)i\overline{z_1 - z_2} = (a - c) - (b - d)i

Sa druge strane, računamo razliku konjugovanih vrednosti pojedinačnih brojeva z1‾ \overline{z_1} i z2‾: \overline{z_2} :

z1‾−z2‾=(a−bi)−(c−di)\overline{z_1} - \overline{z_2} = (a - bi) - (c - di)

Sređujemo izraz oslobađanjem od zagrada i ponovnim grupisanjem realnih i imaginarnih delova:

z1‾−z2‾=a−bi−c+di=(a−c)−(b−d)i\overline{z_1} - \overline{z_2} = a - bi - c + di = (a - c) - (b - d)i

Upoređivanjem rezultata iz koraka 3 i koraka 5, zaključujemo da su izrazi identični, čime je dokaz završen.

(a−c)−(b−d)i=(a−c)−(b−d)i(a - c) - (b - d)i = (a - c) - (b - d)i

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti