1071.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Primenom identiteta za transformaciju dvostrukih radikala ili prepoznavanjem kvadrata binoma pod korenom, odrediti vrednost izraza:

I=7+48+28−103I = \sqrt{7 + \sqrt{48}} + \sqrt{28 - 10\sqrt{3}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo transformišemo prvi sabirak 7+48. \sqrt{7 + \sqrt{48}} . Primetimo da je 48=16⋅3=43. \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} . Izraz pod korenom pokušavamo da zapišemo kao kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2. (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

7+43=7+2⋅2⋅37 + 4\sqrt{3} = 7 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}

Pošto je 22+(3)2=4+3=7, 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7 , zaključujemo da je:

7+43=(2+3)27 + 4\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2

Sada korenujemo dobijeni kvadrat binoma, vodeći računa o tome da je rezultat uvek pozitivan:

7+48=(2+3)2=∣2+3∣=2+3\sqrt{7 + \sqrt{48}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |2 + \sqrt{3}| = 2 + \sqrt{3}

Zatim transformišemo drugi sabirak 28−103. \sqrt{28 - 10\sqrt{3}} . Izraz pod korenom transformišemo u oblik (a−b)2. (a-b)^2 .

28−103=28−2⋅5⋅328 - 10\sqrt{3} = 28 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3}

Proveravamo da li je 52+(3)2=25+3=28. 5^2 + (\sqrt{3})^2 = 25 + 3 = 28 . Kako jeste, pišemo:

28−103=(5−3)228 - 10\sqrt{3} = (5 - \sqrt{3})^2

Korenujemo izraz, uzimajući u obzir da je 5>3, 5 > \sqrt{3} , pa je vrednost pozitivna:

28−103=(5−3)2=∣5−3∣=5−3\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = \sqrt{(5 - \sqrt{3})^2} = |5 - \sqrt{3}| = 5 - \sqrt{3}

Na kraju, sabiramo dobijene rezultate kako bismo odredili konačnu vrednost izraza I: I :

I=(2+3)+(5−3)I = (2 + \sqrt{3}) + (5 - \sqrt{3})

Sređivanjem izraza (poništavanjem korena), dobijamo konačan rezultat:

I=2+5=7I = 2 + 5 = 7

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti