1077.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Dokazati formulu za transformaciju dvostrukih radikala (kvadratnih korena):

A±B=A+A2−B2±A−A2−B2\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}
REŠENJE ZADATKA

Pretpostavljamo da su ispunjeni uslovi A⩾0,B⩾0,A2⩾B. A \geqslant 0, B \geqslant 0, A^2 \geqslant B . Označimo desnu stranu jednakosti sa X X i kvadrirajmo je kako bismo proverili da li ćemo dobiti izraz pod korenom leve strane.

X=A+A2−B2±A−A2−B2X = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}

Kvadriramo izraz koristeći formulu za kvadrat binoma (a±b)2=a2±2ab+b2: (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 :

X2=(A+A2−B2)2±2A+A2−B2A−A2−B2+(A−A2−B2)2X^2 = \left( \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \right)^2 \pm 2 \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} + \left( \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}} \right)^2

Uprošćavamo kvadrate korena i kombinujemo srednji član pod jedan koren koristeći razliku kvadrata:

X2=A+A2−B2±2(A+A2−B)(A−A2−B)4+A−A2−B2X^2 = \frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2} \pm 2 \sqrt{\frac{(A + \sqrt{A^2 - B})(A - \sqrt{A^2 - B})}{4}} + \frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}

Saberemo prvi i treći sabirak. Primetimo da se članovi sa A2−B \sqrt{A^2 - B} potiru:

A+A2−B+A−A2−B2=2A2=A\frac{A + \sqrt{A^2 - B} + A - \sqrt{A^2 - B}}{2} = \frac{2A}{2} = A

Sredimo izraz pod korenom u srednjem članu koristeći (a+b)(a−b)=a2−b2: (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 :

2A2−(A2−B)24=2A2−(A2−B)4=2B4=2⋅B2=B2 \sqrt{\frac{A^2 - (\sqrt{A^2 - B})^2}{4}} = 2 \sqrt{\frac{A^2 - (A^2 - B)}{4}} = 2 \sqrt{\frac{B}{4}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{B}}{2} = \sqrt{B}

Kombinovanjem rezultata dobijamo vrednost kvadrata desne strane:

X2=A±BX^2 = A \pm \sqrt{B}

Korenovanjem obe strane (uzimajući u obzir uslov da je izraz pozitivan), dobijamo polaznu formulu:

X=A±BX = \sqrt{A \pm \sqrt{B}}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti