1079.

27.a

TEKST ZADATKA

Primenom Lagranžovog identiteta za dvostruke korene, odredi vrednost izraza:

33±26\sqrt{3\sqrt{3} \pm 2\sqrt{6}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo transformišemo izraz unutar spoljašnjeg korena u oblik A±B. \sqrt{A \pm \sqrt{B}} . Uvodimo 33 3\sqrt{3} pod koren kao A A i 26 2\sqrt{6} kao B: \sqrt{B} :

A=33=27,B=26=24A = 3\sqrt{3} = \sqrt{27}, \quad \sqrt{B} = 2\sqrt{6} = \sqrt{24}

Koristimo formulu za dvostruke korene: A±B=A+C2±A−C2, \sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + C}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - C}{2}} , gde je C=A2−B. C = \sqrt{A^2 - B} . Računamo vrednost C: C :

C=(33)2−24=27−24=3C = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 24} = \sqrt{27 - 24} = \sqrt{3}

Sada zamenjujemo vrednosti A=33 A = 3\sqrt{3} i C=3 C = \sqrt{3} u formulu:

33±26=33+32±33−32\sqrt{3\sqrt{3} \pm 2\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}} \pm \sqrt{\frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}}

Sređujemo izraze pod korenima:

432±232\sqrt{\frac{4\sqrt{3}}{2}} \pm \sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{2}}

Skraćivanjem razlomaka dobijamo konačan rezultat:

23±3\sqrt{2\sqrt{3}} \pm \sqrt{\sqrt{3}}