1091.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Proveriti da li važi sledeća jednakost:

2+22−1+2−22−1=2\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}}+\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}}=2
REŠENJE ZADATKA

Neka je leva strana jednakosti označena sa A. A . Da bismo eliminisali spoljašnje korene, kvadriraćemo izraz A. A .

A=2+22−1+2−22−1A = \sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}}+\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}}

Primenjujemo formulu za kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 :

A2=(2+22−1)2+22+22−12−22−1+(2−22−1)2A^2 = \left(\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}}\right)^2 + 2\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}}\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}} + \left(\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}}\right)^2

Sređujemo izraze pod kvadratom i grupišemo članove pod zajednički koren koristeći razliku kvadrata (x−y)(x+y)=x2−y2: (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 :

A2=2+22−1+2−22−1+2(2)2−(22−1)2A^2 = \sqrt{2} + 2\sqrt{\sqrt{2}-1} + \sqrt{2} - 2\sqrt{\sqrt{2}-1} + 2\sqrt{(\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{\sqrt{2}-1})^2}

Sređujemo prvi deo izraza gde se srednji članovi potiru i računamo vrednost unutar korena:

A2=22+22−4(2−1)A^2 = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2 - 4(\sqrt{2}-1)}

Dalje sređujemo izraz unutar korena:

A2=22+22−42+4=22+26−42A^2 = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2 - 4\sqrt{2} + 4} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}

Primetimo da se izraz 6−42 6 - 4\sqrt{2} može napisati kao kvadrat binoma (2−2)2: (2 - \sqrt{2})^2 :

(2−2)2=4−42+2=6−42(2 - \sqrt{2})^2 = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2}

Zamenjujemo dobijeni kvadrat binoma nazad u izraz za A2: A^2 :

A2=22+2(2−2)2=22+2∣2−2∣A^2 = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = 2\sqrt{2} + 2|2 - \sqrt{2}|

Pošto je 2>2, 2 > \sqrt{2} , apsolutna vrednost je pozitivna. Oslobađamo se zagrada i računamo konačnu vrednost A2: A^2 :

A2=22+4−22=4A^2 = 2\sqrt{2} + 4 - 2\sqrt{2} = 4

S obzirom da je A A zbir dva pozitivna korena, uzimamo pozitivnu vrednost kvadratnog korena iz 4:

A=4=2A = \sqrt{4} = 2

Zaključujemo da je početna jednakost tačna.

2=22 = 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti