1095.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Osloboditi se iracionalnosti u imeniocima sledećih razlomaka:

1∘11+2+3,2∘2305+6+7,3∘12+5+22+10,4∘2+36−3+2−11^{\circ} \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}, \quad 2^{\circ} \frac{2\sqrt{30}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}}, \quad 3^{\circ} \frac{1}{2+\sqrt{5}+2\sqrt{2}+\sqrt{10}}, \quad 4^{\circ} \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}
REŠENJE ZADATKA

Rešavamo prvi primer. Grupišemo prva dva člana u imeniocu i množimo razlomak izrazom koji će eliminisati jedan koren koristeći razliku kvadrata.

1(1+2)+3⋅(1+2)−3(1+2)−3=1+2−3(1+2)2−(3)2\frac{1}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}} \cdot \frac{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})-\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}

Sređujemo imenilac prvog primera i vršimo drugu racionalizaciju.

1+2−31+22+2−3=1+2−322⋅22=2+2−64\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2\sqrt{2}+2-3} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{4}

Rešavamo drugi primer. Grupišemo 5+6 \sqrt{5}+\sqrt{6} i množimo konjugovanim izrazom.

230(5+6)+7⋅(5+6)−7(5+6)−7=230(5+6−7)5+230+6−7\frac{2\sqrt{30}}{(\sqrt{5}+\sqrt{6})+\sqrt{7}} \cdot \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{6})-\sqrt{7}}{(\sqrt{5}+\sqrt{6})-\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{30}(\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7})}{5+2\sqrt{30}+6-7}

Sređujemo izraz u drugom primeru.

230(5+6−7)4+230=30(5+6−7)2+30⋅30−230−2\frac{2\sqrt{30}(\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7})}{4+2\sqrt{30}} = \frac{\sqrt{30}(\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7})}{2+\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}-2}{\sqrt{30}-2}

Rešavamo treći primer. Prvo faktorizujemo imenilac grupisanjem članova.

2+5+22+10=(2+5)+2(2+5)=(2+5)(1+2)2+\sqrt{5}+2\sqrt{2}+\sqrt{10} = (2+\sqrt{5}) + \sqrt{2}(2+\sqrt{5}) = (2+\sqrt{5})(1+\sqrt{2})

Sada racionalizujemo svaki faktor posebno u trećem primeru.

1(2+5)(1+2)⋅5−25−2⋅2−12−1=(5−2)(2−1)(5−4)(2−1)=10−5−22+2\frac{1}{(2+\sqrt{5})(1+\sqrt{2})} \cdot \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{2}-1)}{(5-4)(2-1)} = \sqrt{10}-\sqrt{5}-2\sqrt{2}+2

Rešavamo četvrti primer. Faktorizujemo imenilac.

6−3+2−1=3(2−1)+1(2−1)=(3+1)(2−1)\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-1 = \sqrt{3}(\sqrt{2}-1) + 1(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{3}+1)(\sqrt{2}-1)

Vršimo racionalizaciju četvrtog primera množenjem konjugovanim vrednostima faktora.

2+3(3+1)(2−1)⋅3−13−1⋅2+12+1=(2+3)(3−1)(2+1)(3−1)(2−1)\frac{2+\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{2}-1)} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)(\sqrt{2}+1)}{(3-1)(2-1)}

Sređujemo brojilac do konačnog rezultata za četvrti primer.

(23−2+3−3)(2+1)2=(3+1)(2+1)2=6+3+2+12\frac{(2\sqrt{3}-2+3-\sqrt{3})(\sqrt{2}+1)}{2} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{2}+1)}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti