1119.

Korenovanje

TEKST ZADATKA

Uprostiti sledeći algebarski izraz sa korenima:

I=a43+a2b23+b43a23+ab3+b23I = \frac{\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{a^2b^2} + \sqrt[3]{b^4}}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati brojilac koristeći pravila za stepenovanje i korenovanje, gde je a43=aa3, \sqrt[3]{a^4} = a\sqrt[3]{a} , a b43=bb3. \sqrt[3]{b^4} = b\sqrt[3]{b} . Međutim, jednostavnije je uvesti smenu.

x=a3,y=b3x = \sqrt[3]{a}, \quad y = \sqrt[3]{b}

Kada uvedemo smene x2=a23 x^2 = \sqrt[3]{a^2} i x4=a43, x^4 = \sqrt[3]{a^4} , izraz dobija sledeći oblik:

I=x4+x2y2+y4x2+xy+y2I = \frac{x^4 + x^2y^2 + y^4}{x^2 + xy + y^2}

Sada transformišemo brojilac x4+x2y2+y4 x^4 + x^2y^2 + y^4 dopunjavanjem do potpunog kvadrata i korišćenjem razlike kvadrata.

x4+x2y2+y4=(x4+2x2y2+y4)−x2y2x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2

Primenjujemo formulu za kvadrat zbira i razliku kvadrata:

(x2+y2)2−(xy)2=(x2+y2−xy)(x2+y2+xy)(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 + y^2 - xy)(x^2 + y^2 + xy)

Vraćamo faktorizovan izraz u početni razlomak i vršimo skraćivanje zajedničkog člana:

I=(x2−xy+y2)(x2+xy+y2)x2+xy+y2=x2−xy+y2I = \frac{(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)}{x^2 + xy + y^2} = x^2 - xy + y^2

Na kraju, vraćamo originalne promenljive a a i b b umesto x x i y: y :

I=a23−ab3+b23I = \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti