1139.

48.b

TEKST ZADATKA

Dokazati da važi sledeća jednakost:

3−5(3+5)(10−2)=8\sqrt{3 - \sqrt{5}}(3 + \sqrt{5})(\sqrt{10} - \sqrt{2}) = 8
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati izraz u drugoj zagradi (10−2) (\sqrt{10} - \sqrt{2}) izvlačenjem zajedničkog faktora 2. \sqrt{2} .

10−2=2⋅5−2=2(5−1)\sqrt{10} - \sqrt{2} = \sqrt{2 \cdot 5} - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - 1)

Sada uvrštavamo ovaj rezultat u početni izraz i menjamo redosled činilaca radi lakšeg grupisanja.

3−5⋅2⋅(5−1)⋅(3+5)\sqrt{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{5} - 1) \cdot (3 + \sqrt{5})

Unosimo broj 2 \sqrt{2} pod prvi koren kako bismo uprostili potkorenu veličinu.

2(3−5)=6−25\sqrt{2(3 - \sqrt{5})} = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}

Primetimo da je izraz 6−25 6 - 2\sqrt{5} zapravo kvadrat binoma (5−1)2. (\sqrt{5} - 1)^2 .

(5−1)2=(5)2−25+12=5−25+1=6−25(\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}

Zamenjujemo koren kvadratom binoma. Pošto je 5−1>0, \sqrt{5} - 1 > 0 , koren i kvadrat se direktno skraćuju.

6−25=(5−1)2=5−1\sqrt{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - 1

Sada ceo izraz postaje proizvod dva ista binoma i poslednje zagrade.

(5−1)(5−1)(3+5)=(5−1)2(3+5)(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} - 1)(3 + \sqrt{5}) = (\sqrt{5} - 1)^2 (3 + \sqrt{5})

Već smo računali da je (5−1)2=6−25. (\sqrt{5} - 1)^2 = 6 - 2\sqrt{5} . Uvrštavamo to nazad i množimo sa poslednjim članom.

(6−25)(3+5)(6 - 2\sqrt{5})(3 + \sqrt{5})

Iz prve zagrade izvlačimo zajednički faktor 2.

2(3−5)(3+5)2(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})

Preostali deo izraza je razlika kvadrata (a−b)(a+b)=a2−b2. (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 .

2(32−(5)2)=2(9−5)=2⋅4=82(3^2 - (\sqrt{5})^2) = 2(9 - 5) = 2 \cdot 4 = 8

Ovim smo dokazali da je polazni izraz jednak 8.

8=88 = 8