TEKST ZADATKA
Ispitati funkciju i skicirati grafik: y=−2x2+4x−3;
REŠENJE ZADATKA
Data je kvadratna funkcija oblika y=ax2+bx+c. Prvo određujemo njene koeficijente.
a=−2,b=4,c=−3 Domen kvadratne funkcije je skup svih realnih brojeva.
D=Rilix∈(−∞,+∞) Određujemo presek sa y-osom tako što zamenimo x=0 u jednačinu funkcije.
y=−2(0)2+4(0)−3=−3 Tačka preseka sa y-osom je:
Određujemo nule funkcije (preseke sa x-osom) rešavanjem kvadratne jednačine −2x2+4x−3=0.
x1,2=2a−b±b2−4ac Računamo diskriminantu D=b2−4ac.
D=42−4⋅(−2)⋅(−3)=16−24=−8 Pošto je diskriminanta manja od nule (D<0), kvadratna jednačina nema realna rešenja, što znači da grafik funkcije ne seče x-osu.
D<0⟹x∈/R Određujemo koordinate temena parabole T(xT,yT). X-koordinata temena se računa po formuli:
xT=−2ab=−2⋅(−2)4=−−44=1 Y-koordinatu temena možemo izračunati zamenom xT u funkciju ili po formuli yT=4a4ac−b2.
yT=−2(1)2+4(1)−3=−2+4−3=−1 Pošto je a=−2<0, parabola je okrenuta nadole i funkcija ima maksimum u temenu.
Tmax(1,−1) Zapisujemo funkciju u kanonskom obliku y=a(x−xT)2+yT.
y=−2(x−1)2−1 Analiziramo znak funkcije. Kako je a<0 i D<0, funkcija je negativna za sve realne vrednosti x.
y<0,∀x∈R Određujemo intervale monotonosti (rašćenja i opadanja). Funkcija raste do temena, a zatim opada.
y↗za x∈(−∞,1)y↘za x∈(1,+∞) Na osnovu dobijenih podataka (teme T(1,−1), presek sa y-osom (0,−3), okrenutost nadole i odsustvo preseka sa x-osom) možemo skicirati grafik funkcije.