1705.

299.g

TEKST ZADATKA

Odrediti x∈R x \in \mathbb{R} za koje je definisana funkcija: y=x2−4x2−x−12. y = \sqrt{\frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 12}} .

REŠENJE ZADATKA

Da bi funkcija bila definisana, izraz pod kvadratnim korenom mora biti nenegativan, a imenilac razlomka mora biti različit od nule. Postavljamo uslov:

x2−4x2−x−12≥0\frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 12} \ge 0

Rastavljamo brojilac i imenilac na činioce kako bismo lakše odredili njihove nule. Za brojilac koristimo razliku kvadrata:

x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Za imenilac tražimo nule kvadratne jednačine x2−x−12=0 x^2 - x - 12 = 0 koristeći Vietova pravila ili diskriminantu, čime dobijamo korene x1=4 x_1 = 4 i x2=−3: x_2 = -3 :

x2−x−12=(x−4)(x+3)x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)

Sada nejednačinu možemo zapisati u obliku:

(x−2)(x+2)(x−4)(x+3)≥0\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 4)(x + 3)} \ge 0
x∈(−∞,−3)x \in (-\infty, -3)
x∈(−3,−2)x \in (-3, -2)
x∈(−2,2)x \in (-2, 2)
x∈(2,4)x \in (2, 4)
x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty)
x+3x+3
− -
+ +
+ +
+ +
+ +
x+2x+2
− -
− -
+ +
+ +
+ +
x−2x-2
− -
− -
− -
+ +
+ +
x−4x-4
− -
− -
− -
− -
+ +
P(x)P(x)
+ +
− -
+ +
− -
+ +

Na osnovu tabele znakova, biramo intervale gde je izraz pozitivan ili jednak nuli. Moramo voditi računa da imenilac ne sme biti nula, pa su vrednosti x=−3 x = -3 i x=4 x = 4 isključene (otvorene zagrade), dok su vrednosti iz brojioca x=−2 x = -2 i x=2 x = 2 uključene (zatvorene zagrade).

Df=(−∞,−3)∪[−2,2]∪(4,+∞)D_f = (-\infty, -3) \cup [-2, 2] \cup (4, +\infty)