4290.

669.đ

TEKST ZADATKA

Ispitati da li su ekvivalentne sledeće jednačine: x2−1x−1=2 \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2 i x+1=2. x + 1 = 2 .

REŠENJE ZADATKA

Dve jednačine su ekvivalentne ako imaju isti skup rešenja. Prvo određujemo domen i rešavamo prvu jednačinu.

x2−1x−1=2\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2

Kod prve jednačine moramo postaviti uslov da imenilac ne sme biti nula.

x−1≠0  ⟹  x≠1x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1

Sada transformišemo brojilac koristeći razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b) a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) i skraćujemo razlomak pod uslovom x≠1. x \neq 1 .

(x−1)(x+1)x−1=2  ⟹  x+1=2\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = 2 \implies x + 1 = 2

Rešavamo dobijenu linearnu jednačinu.

x=2−1  ⟹  x=1x = 2 - 1 \implies x = 1

Proveravamo da li dobijeno rešenje pripada domenu prve jednačine. Kako je uslov bio x≠1, x \neq 1 , a dobili smo x=1, x = 1 , prva jednačina nema rešenja.

R1=∅R_1 = \emptyset

Sada rešavamo drugu jednačinu.

x+1=2  ⟹  x=1x + 1 = 2 \implies x = 1

Druga jednačina nema ograničenja u domenu, pa je njeno rešenje:

R2={1}R_2 = \{1\}

Upoređujemo skupove rešenja R1 R_1 i R2. R_2 . Pošto skupovi rešenja nisu identični, jednačine nisu ekvivalentne.

R1≠R2  ⟹  Jednacˇine nisu ekvivalentne.R_1 \neq R_2 \implies \text{Jednačine nisu ekvivalentne.}