4350.

681.g

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: ∣x+1∣+∣x−1∣=4 |x+1| + |x-1| = 4

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo apsolutnu vrednost izraza x+1: x+1 :

∣x+1∣={x+1,za x≥−1−(x+1),za x<−1|x+1| = \begin{cases} x+1, & \text{za } x \ge -1 \\ -(x+1), & \text{za } x < -1 \end{cases}

Zatim definišemo apsolutnu vrednost izraza x−1: x-1 :

∣x−1∣={x−1,za x≥1−(x−1),za x<1|x-1| = \begin{cases} x-1, & \text{za } x \ge 1 \\ -(x-1), & \text{za } x < 1 \end{cases}
x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
x∈[−1,1)x \in [-1, 1)
x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty)
x+1x+1
− -
+ +
+ +
x−1x-1
− -
− -
+ +

Razmatramo prvi slučaj kada je x<−1: x < -1 :

−(x+1)−(x−1)=4−x−1−x+1=4−2x=4x=−2-(x+1) - (x-1) = 4 \\ -x - 1 - x + 1 = 4 \\ -2x = 4 \\ x = -2

Proveravamo da li rešenje x=−2 x = -2 pripada intervalu (−∞,−1). (-\infty, -1) . Kako je −2<−1, -2 < -1 , ovo je validno rešenje.

x1=−2x_1 = -2

Razmatramo drugi slučaj kada je −1≤x<1: -1 \le x < 1 :

(x+1)−(x−1)=4x+1−x+1=42=4(x+1) - (x-1) = 4 \\ x + 1 - x + 1 = 4 \\ 2 = 4

Jednačina 2=4 2 = 4 nema rešenja, pa u ovom intervalu nema vrednosti x x koje zadovoljavaju polaznu jednačinu.

x∈∅x \in \emptyset

Razmatramo treći slučaj kada je x≥1: x \ge 1 :

(x+1)+(x−1)=4x+1+x−1=42x=4x=2(x+1) + (x-1) = 4 \\ x + 1 + x - 1 = 4 \\ 2x = 4 \\ x = 2

Proveravamo da li rešenje x=2 x = 2 pripada intervalu [1,+∞). [1, +\infty) . Kako je 2≥1, 2 \ge 1 , ovo je validno rešenje.

x2=2x_2 = 2

Konačna rešenja jednačine su:

x∈{−2,2}x \in \{-2, 2\}