4355.

680.j

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu po nepoznatoj x x u zavisnosti od realnog parametra m: m :

m2(mx−1)=8x−4m^2(mx-1) = 8x - 4
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo srediti jednačinu tako da sve članove sa nepoznatom x x prebacimo na levu stranu, a slobodne članove na desnu stranu. Razvijamo zagradu na levoj strani:

m3x−m2=8x−4m^3x - m^2 = 8x - 4

Prebacujemo 8x 8x na levu stranu i −m2 -m^2 na desnu stranu:

m3x−8x=m2−4m^3x - 8x = m^2 - 4

Izvlačimo zajednički faktor x x na levoj strani:

x(m3−8)=m2−4x(m^3 - 8) = m^2 - 4

Primenjujemo formulu za razliku kubova a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) na izraz u zagradi i razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b) a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) na desnu stranu:

x(m−2)(m2+2m+4)=(m−2)(m+2)x(m-2)(m^2 + 2m + 4) = (m-2)(m+2)

Sada analiziramo slučajeve u zavisnosti od vrednosti parametra m. m . Prvi slučaj je kada je koeficijent uz x x jednak nuli. To se dešava kada je m−2=0, m-2 = 0 , odnosno m=2. m = 2 . Zamenom u jednačinu dobijamo:

x(2−2)(22+2⋅2+4)=(2−2)(2+2)x⋅0⋅12=0⋅40=0x(2-2)(2^2 + 2\cdot2 + 4) = (2-2)(2+2) \\ x \cdot 0 \cdot 12 = 0 \cdot 4 \\ 0 = 0

Pošto smo dobili identitet 0=0, 0=0 , zaključujemo da za m=2 m=2 jednačina ima beskonačno mnogo rešenja.

x∈Rx \in \mathbb{R}

Drugi slučaj je kada je m≠2. m \neq 2 . Tada možemo podeliti celu jednačinu sa (m−2). (m-2) . Primetimo da je izraz m2+2m+4 m^2 + 2m + 4 uvek pozitivan za svako realno m m (jer je diskriminanta D=22−4⋅4=−12<0 D = 2^2 - 4 \cdot 4 = -12 < 0 ), pa nikada nije nula. Deljenjem dobijamo:

x=(m−2)(m+2)(m−2)(m2+2m+4)x = \frac{(m-2)(m+2)}{(m-2)(m^2 + 2m + 4)}

Skraćivanjem razlomka sa m−2 m-2 dobijamo jedinstveno rešenje:

x=m+2m2+2m+4x = \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4}

Konačno rešenje diskusije:

{m=2  ⟹  x∈Rm≠2  ⟹  x=m+2m2+2m+4\begin{cases} m = 2 \implies x \in \mathbb{R} \\ m \neq 2 \implies x = \frac{m+2}{m^2 + 2m + 4} \end{cases}