4357.

678.g

TEKST ZADATKA

Dokazati da sledeća jednačina nema rešenja: x−1x+1+1x−1=x−1x+1x−1 \frac{x-1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x-1}{x} + \frac{1}{x-1}

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo definisanost izraza u jednačini. Imenioce svih razlomaka moramo postaviti da budu različiti od nule.

x+1≠0  ⟹  x≠−1x−1≠0  ⟹  x≠1x≠0x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 \\ x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 \\ x \neq 0

Domen jednačine je skup svih realnih brojeva osim onih za koje imenilac postaje nula.

D=R∖{−1,0,1}D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}

Primećujemo da se sa obe strane jednačine pojavljuje isti sabirak 1x−1. \frac{1}{x-1} . Možemo ga oduzeti sa obe strane, uz uslov da je on definisan (što smo već obezbedili domenom).

x−1x+1+1x−1=x−1x+1x−1/−1x−1\frac{x-1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x-1}{x} + \frac{1}{x-1} \quad / - \frac{1}{x-1}

Nakon skraćivanja, jednačina se svodi na sledeći oblik:

x−1x+1=x−1x\frac{x-1}{x+1} = \frac{x-1}{x}

Sredimo jednačinu tako što ćemo sve članove prebaciti na levu stranu i izvući zajednički faktor x−1. x-1 .

x−1x+1−x−1x=0(x−1)(1x+1−1x)=0\frac{x-1}{x+1} - \frac{x-1}{x} = 0 \\ (x-1) \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} \right) = 0

Sada imamo dva slučaja. Prvi slučaj je kada je prvi faktor jednak nuli.

x−1=0  ⟹  x=1x-1 = 0 \implies x = 1

Međutim, vrednost x=1 x = 1 ne pripada domenu D D jer bi u tom slučaju izraz 1x−1 \frac{1}{x-1} bio nedefinisan. Dakle, x=1 x = 1 nije rešenje.

x=1∉Dx = 1 \notin D

Drugi slučaj je kada je drugi faktor jednak nuli. Računamo vrednost u zagradi.

1x+1−1x=0x−(x+1)x(x+1)=0−1x(x+1)=0\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} = 0 \\ \frac{x - (x+1)}{x(x+1)} = 0 \\ \frac{-1}{x(x+1)} = 0

Razlomak je jednak nuli samo ako je brojilac jednak nuli. Pošto je brojilac konstantna vrednost −1, -1 , on nikada ne može biti nula.

−1≠0-1 \neq 0

Zaključujemo da jednačina nema rešenja u skupu realnih brojeva.

x∈∅x \in \emptyset