4379.

690.a

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu po nepoznatoj x x u zavisnosti od realnih parametara a a i b: b :

a2b−a+xb=ab2−b+xaa^2b - \frac{a + x}{b} = ab^2 - \frac{b + x}{a}
REŠENJE ZADATKA

Da bi jednačina bila definisana, imenioci moraju biti različiti od nule.

a≠0ib≠0a \neq 0 \quad \text{i} \quad b \neq 0

Množimo celu jednačinu sa ab ab kako bismo se oslobodili razlomaka.

ab⋅(a2b−a+xb)=ab⋅(ab2−b+xa)ab \cdot \left( a^2b - \frac{a + x}{b} \right) = ab \cdot \left( ab^2 - \frac{b + x}{a} \right)

Nakon množenja i skraćivanja razlomaka dobijamo sledeći izraz.

a3b2−a(a+x)=a2b3−b(b+x)a^3b^2 - a(a + x) = a^2b^3 - b(b + x)

Oslobađamo se zagrada množenjem.

a3b2−a2−ax=a2b3−b2−bxa^3b^2 - a^2 - ax = a^2b^3 - b^2 - bx

Prebacujemo sve članove koji sadrže nepoznatu x x na levu stranu, a sve ostale članove na desnu stranu.

bx−ax=a2b3−a3b2−b2+a2bx - ax = a^2b^3 - a^3b^2 - b^2 + a^2

Izvlačimo zajednički činilac x x na levoj strani jednačine.

x(b−a)=a2b3−a3b2+a2−b2x(b - a) = a^2b^3 - a^3b^2 + a^2 - b^2

Faktorišemo desnu stranu metodom grupisanja. Iz prva dva člana izvlačimo a2b2, a^2b^2 , a preostala dva člana predstavljaju razliku kvadrata.

x(b−a)=a2b2(b−a)+(a−b)(a+b)x(b - a) = a^2b^2(b - a) + (a - b)(a + b)

Izraz a−b a - b možemo zapisati kao −(b−a) -(b - a) kako bismo dobili isti činilac u oba sabirka na desnoj strani.

x(b−a)=a2b2(b−a)−(b−a)(a+b)x(b - a) = a^2b^2(b - a) - (b - a)(a + b)

Izvlačimo zajednički činilac b−a b - a na desnoj strani.

x(b−a)=(b−a)(a2b2−a−b)x(b - a) = (b - a)(a^2b^2 - a - b)

Sada analiziramo rešenja u zavisnosti od parametara. Prvi slučaj: ako je a≠b a \neq b (odnosno b−a≠0 b - a \neq 0 ), možemo podeliti jednačinu sa b−a. b - a .

x=a2b2−a−bx = a^2b^2 - a - b

Drugi slučaj: ako je a=b, a = b , jednačina postaje x⋅0=0. x \cdot 0 = 0 . U ovom slučaju, jednakost važi za svaki realan broj x. x .

x∈Rx \in \mathbb{R}

Konačno rešenje jednačine uz početne uslove a≠0 a \neq 0 i b≠0 b \neq 0 možemo zapisati na sledeći način:

{x=a2b2−a−b,za a≠bx∈R,za a=b\begin{cases} x = a^2b^2 - a - b, & \text{za } a \neq b \\ x \in \mathbb{R}, & \text{za } a = b \end{cases}