4381.

689.d

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu po nepoznatoj x: x :

2x−3b3a+b−3x−4ab−3a=3ax+12ab+5b29a2−b2\frac{2x - 3b}{3a + b} - \frac{3x - 4a}{b - 3a} = \frac{3ax + 12ab + 5b^2}{9a^2 - b^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove pod kojima je jednačina definisana. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

3a+b≠0ib−3a≠0  ⟹  b≠−3aib≠3a3a + b \neq 0 \quad \text{i} \quad b - 3a \neq 0 \implies b \neq -3a \quad \text{i} \quad b \neq 3a

Primetimo da se imenilac sa desne strane može faktorisati kao razlika kvadrata:

9a2−b2=(3a−b)(3a+b)9a^2 - b^2 = (3a - b)(3a + b)

Takođe, imenilac drugog razlomka možemo prepisati tako da izvučemo minus ispred zagrade, kako bismo dobili isti izraz kao u razlici kvadrata:

b−3a=−(3a−b)b - 3a = -(3a - b)

Zamenom ovih izraza u početnu jednačinu, dobijamo:

2x−3b3a+b+3x−4a3a−b=3ax+12ab+5b2(3a−b)(3a+b)\frac{2x - 3b}{3a + b} + \frac{3x - 4a}{3a - b} = \frac{3ax + 12ab + 5b^2}{(3a - b)(3a + b)}

Množimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniocem (3a−b)(3a+b) (3a - b)(3a + b) kako bismo se oslobodili razlomaka:

(2x−3b)(3a−b)+(3x−4a)(3a+b)=3ax+12ab+5b2(2x - 3b)(3a - b) + (3x - 4a)(3a + b) = 3ax + 12ab + 5b^2

Množimo polinome na levoj strani jednačine:

(6ax−2bx−9ab+3b2)+(9ax+3bx−12a2−4ab)=3ax+12ab+5b2(6ax - 2bx - 9ab + 3b^2) + (9ax + 3bx - 12a^2 - 4ab) = 3ax + 12ab + 5b^2

Sređujemo levu stranu sabiranjem sličnih monoma:

15ax+bx−13ab+3b2−12a2=3ax+12ab+5b215ax + bx - 13ab + 3b^2 - 12a^2 = 3ax + 12ab + 5b^2

Grupišemo sve članove koji sadrže nepoznatu x x na levu stranu, a ostale članove prebacujemo na desnu stranu:

15ax+bx−3ax=12ab+5b2+13ab−3b2+12a215ax + bx - 3ax = 12ab + 5b^2 + 13ab - 3b^2 + 12a^2

Sređujemo obe strane jednačine:

12ax+bx=12a2+25ab+2b212ax + bx = 12a^2 + 25ab + 2b^2

Izvlačimo nepoznatu x x ispred zagrade na levoj strani:

x(12a+b)=12a2+25ab+2b2x(12a + b) = 12a^2 + 25ab + 2b^2

Faktorišemo polinom na desnoj strani. Rastavljamo srednji član 25ab 25ab na 24ab+ab: 24ab + ab :

12a2+24ab+ab+2b2=12a(a+2b)+b(a+2b)=(12a+b)(a+2b)12a^2 + 24ab + ab + 2b^2 = 12a(a + 2b) + b(a + 2b) = (12a + b)(a + 2b)

Jednačina sada glasi:

x(12a+b)=(12a+b)(a+2b)x(12a + b) = (12a + b)(a + 2b)

Ako je 12a+b≠0 12a + b \neq 0 (uz početne uslove b≠3a b \neq 3a i b≠−3a b \neq -3a ), možemo podeliti jednačinu sa 12a+b 12a + b i dobijamo jedinstveno rešenje:

x=a+2bx = a + 2b

U slučaju da je 12a+b=0, 12a + b = 0 , jednačina postaje 0⋅x=0, 0 \cdot x = 0 , pa je rešenje svaki realan broj, pod uslovom da su ispunjeni početni uslovi za imenioce.

x∈Rx \in \mathbb{R}