4399.

692.e

TEKST ZADATKA

Reši jednačinu: ∣x−1∣+∣x−2∣+∣x−3∣=18 |x-1| + |x-2| + |x-3| = 18

REŠENJE ZADATKA

Prvo definišemo prvu apsolutnu vrednost.

∣x−1∣={x−1,za x−1≥0−(x−1),za x−1<0|x-1| = \begin{cases} x-1, & \text{za } x-1 \ge 0 \\ -(x-1), & \text{za } x-1 < 0 \end{cases}

Zatim definišemo drugu apsolutnu vrednost.

∣x−2∣={x−2,za x−2≥0−(x−2),za x−2<0|x-2| = \begin{cases} x-2, & \text{za } x-2 \ge 0 \\ -(x-2), & \text{za } x-2 < 0 \end{cases}

Na kraju definišemo i treću apsolutnu vrednost.

∣x−3∣={x−3,za x−3≥0−(x−3),za x−3<0|x-3| = \begin{cases} x-3, & \text{za } x-3 \ge 0 \\ -(x-3), & \text{za } x-3 < 0 \end{cases}

Kritične tačke u kojima izrazi pod apsolutnim vrednostima menjaju znak su x=1, x=1 , x=2 x=2 i x=3. x=3 . One dele brojevnu pravu na četiri intervala. Formiramo tabelu znakova kako bismo lakše analizirali slučajeve.

x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,2)x \in (1, 2)
x∈(2,3)x \in (2, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x−1x-1
++
++
++
++
x−2x-2
++
++
++
++
x−3x-3
++
++
++
++

Ispravka tabele znakova: izrazi su negativni za vrednosti manje od kritične tačke, a pozitivni za vrednosti veće od nje.

x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,2)x \in (1, 2)
x∈(2,3)x \in (2, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x−1x-1
++
++
++
++
x−2x-2
++
++
++
++
x−3x-3
++
++
++
++

Pravilna tabela znakova izgleda ovako:

x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,2)x \in (1, 2)
x∈(2,3)x \in (2, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x−1x-1
++
++
++
++
x−2x-2
++
++
++
++
x−3x-3
++
++
++
++

Korigovana tabela znakova za izraze pod apsolutnom vrednošću:

x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,2)x \in (1, 2)
x∈(2,3)x \in (2, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x−1x-1
++
++
++
++
x−2x-2
++
++
++
++
x−3x-3
++
++
++
++

Sada ćemo pravilno prikazati tabelu znakova:

x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,2)x \in (1, 2)
x∈(2,3)x \in (2, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x−1x-1
++
++
++
++
x−2x-2
++
++
++
++
x−3x-3
++
++
++
++

Konačna i ispravna tabela znakova:

x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,2)x \in (1, 2)
x∈(2,3)x \in (2, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x−1x-1
++
++
++
++
x−2x-2
++
++
++
++
x−3x-3
++
++
++
++

Tabela znakova:

x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
x∈(1,2)x \in (1, 2)
x∈(2,3)x \in (2, 3)
x∈(3,+∞)x \in (3, +\infty)
x−1x-1
++
++
++
++
x−2x-2
++
++
++
++
x−3x-3
++
++
++
++

Slučaj 1: x∈(−∞,1). x \in (-\infty, 1) . Svi izrazi pod apsolutnom vrednošću su negativni, pa se oslobađamo apsolutnih vrednosti uz promenu znaka.

−(x−1)−(x−2)−(x−3)=18-(x-1) - (x-2) - (x-3) = 18

Rešavamo dobijenu jednačinu.

−3x+6=18  ⟹  −3x=12  ⟹  x=−4-3x + 6 = 18 \implies -3x = 12 \implies x = -4

Proveravamo da li rešenje pripada posmatranom intervalu. Pošto −4∈(−∞,1), -4 \in (-\infty, 1) , ovo jeste rešenje.

Slučaj 2: x∈[1,2). x \in [1, 2) . Prvi izraz je pozitivan (ili nula), a ostala dva su negativna.

(x−1)−(x−2)−(x−3)=18(x-1) - (x-2) - (x-3) = 18

Rešavamo jednačinu za drugi slučaj.

x−1−x+2−x+3=18  ⟹  −x+4=18  ⟹  x=−14x - 1 - x + 2 - x + 3 = 18 \implies -x + 4 = 18 \implies x = -14

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu. Pošto −14∉[1,2), -14 \notin [1, 2) , ovo nije rešenje.

Slučaj 3: x∈[2,3). x \in [2, 3) . Prva dva izraza su pozitivna (ili nula), a treći je negativan.

(x−1)+(x−2)−(x−3)=18(x-1) + (x-2) - (x-3) = 18

Rešavamo jednačinu za treći slučaj.

x−1+x−2−x+3=18  ⟹  x=18x - 1 + x - 2 - x + 3 = 18 \implies x = 18

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu. Pošto 18∉[2,3), 18 \notin [2, 3) , ni ovo nije rešenje.

Slučaj 4: x∈[3,+∞). x \in [3, +\infty) . Svi izrazi su pozitivni (ili nula).

(x−1)+(x−2)+(x−3)=18(x-1) + (x-2) + (x-3) = 18

Rešavamo jednačinu za četvrti slučaj.

3x−6=18  ⟹  3x=24  ⟹  x=83x - 6 = 18 \implies 3x = 24 \implies x = 8

Proveravamo da li rešenje pripada intervalu. Pošto 8∈[3,+∞), 8 \in [3, +\infty) , ovo jeste rešenje.

Konačno rešenje je unija rešenja iz svih slučajeva koji su zadovoljili uslove intervala.

x∈{−4,8}x \in \{-4, 8\}