2313. Logaritamske jednačine

Zapišimo izraz $2^{-x}$ kao razlomak $\frac{1}{2^x} .$

2^x + \frac{12}{2^x} = 9,5

Uvodimo smenu $t = 2^x ,$ uz uslov da je $t > 0 .$

t + \frac{12}{t} = 9,5

Množimo celu jednačinu sa $t$ kako bismo se oslobodili razlomka u imeniocu.

t^2 + 12 = 9,5t

Prebacujemo sve članove na levu stranu i množimo jednačinu sa $2$ da bismo se oslobodili decimalnog broja.

2t^2 - 19t + 24 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{19 \pm \sqrt{(-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 24}}{2 \cdot 2}

Računamo vrednosti pod korenom.

t_{1,2} = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 192}}{4} = \frac{19 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{19 \pm 13}{4}

Dobijamo dva rešenja za $t .$ Oba rešenja su pozitivna, pa zadovoljavaju uslov $t > 0 .$

t_1 = \frac{32}{4} = 8, \quad t_2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 8 .$

2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x_1 = 3

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = \frac{3}{2} .$

2^x = \frac{3}{2} \implies x_2 = \log_2 \left(\frac{3}{2}\right)

Drugo rešenje možemo zapisati i u drugačijem obliku koristeći osobine logaritama.

x_2 = \log_2 3 - \log_2 2 = \log_2 3 - 1

Konačna rešenja jednačine su:

x \in \{ \log_2 3 - 1, 3 \}

533.g