2322.

Logaritamske jednačine

Određujemo domen jednačine. Osnova logaritma mora biti pozitivna i različita od 1, a argument logaritma pozitivan.

Transformišemo logaritme koristeći osnovne osobine. Za levu stranu jednačine važi:

Za desnu stranu jednačine transformišemo osnovu i izraze u zagradi:

Izraz u zagradi postaje:

Takođe, za izraz pod apsolutnom vrednošću važi:

Uvodimo smenu $t = \log_{10} x$ i $p = \log_{10} a .$ Jednačina tada postaje:

Množenjem jednačine sa $t$ (što je dozvoljeno jer $x \neq 1 \implies t \neq 0$) dobijamo:

Definišemo izraz sa apsolutnom vrednošću:

Razmatramo prvi slučaj kada je $t \ge p .$ Jednačina postaje:

Sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu:

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

Uslov da su rešenja realna je $3 + 4p \ge 0 \implies p \ge -\frac{3}{4} .$ Proveravamo uslov $t \ge p$ za prvo rešenje $t_1 :$

Kako je $p \ge -\frac{3}{4} ,$ desna strana je pozitivna. Kvadriranjem nejednačine dobijamo:

Rešavanjem ove kvadratne nejednačine dobijamo uslov za $p$ za koji je $t_1$ validno rešenje:

Proveravamo uslov $t \ge p$ za drugo rešenje $t_2 :$

Razmatramo drugi slučaj kada je $t < p .$ Jednačina postaje:

Sređivanjem dobijamo kvadratnu jednačinu:

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t :$

Proveravamo uslov $t < p$ za ova rešenja. Za $t_3 = 1 + \sqrt{3}$ uslov je:

Za $t_4 = 1 - \sqrt{3}$ uslov je:

Objedinjujemo rešenja za $t$ u zavisnosti od parametra $p .$ Za $p < 1 - \sqrt{3}$ nema rešenja. Za $p \in [1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}]$ rešenja su:

Za $p > 1 + \sqrt{3}$ rešenja su:

Proveravamo uslov $t \neq 0 .$ Rešenja $t_3$ i $t_4$ su različita od nule. Za $t_1$ imamo:

Vraćamo se na početne promenljive $x = 10^t$ i $a = 10^p .$ Kritične vrednosti za parametar $a$ su:

Konačno rešenje jednačine u zavisnosti od parametra $a$ je: