TEKST ZADATKA
Rešiti sistem jednačina:
log 2 ( x + 2 ) 3 + log 3 ( y + 1 ) 2 = 6 , \log_2(x+2)^3 + \log_3(y+1)^2 = 6 , log 2 ( x + 2 ) 3 + log 3 ( y + 1 ) 2 = 6 ,
log 4 ( x + 2 ) 4 + log 9 1 y + 1 = 4. \log_4(x+2)^4 + \log_9 \frac{1}{y+1} = 4 . log 4 ( x + 2 ) 4 + log 9 y + 1 1 = 4.
REŠENJE ZADATKA
Prvo određujemo oblast definisanosti (domen) sistema. Argumenti logaritama moraju biti strogo pozitivni:
{ ( x + 2 ) 3 > 0 ( y + 1 ) 2 > 0 ( x + 2 ) 4 > 0 1 y + 1 > 0 ⟹ { x > − 2 y ≠ − 1 x ≠ − 2 y > − 1 \begin{cases} (x+2)^3 > 0 \\ (y+1)^2 > 0 \\ (x+2)^4 > 0 \\ \frac{1}{y+1} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ y \neq -1 \\ x \neq -2 \\ y > -1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ ( x + 2 ) 3 > 0 ( y + 1 ) 2 > 0 ( x + 2 ) 4 > 0 y + 1 1 > 0 ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ x > − 2 y = − 1 x = − 2 y > − 1 Presek ovih uslova daje domen sistema:
x > − 2 i y > − 1 x > -2 \quad \text{i} \quad y > -1 x > − 2 i y > − 1 Primenjujemo osobine logaritama na prvu jednačinu. S obzirom na domen, važi x + 2 > 0 x+2 > 0 x + 2 > 0 i y + 1 > 0 , y+1 > 0 , y + 1 > 0 , pa možemo izvući eksponente ispred logaritma bez upotrebe apsolutne vrednosti:
log 2 ( x + 2 ) 3 + log 3 ( y + 1 ) 2 = 6 ⟹ 3 log 2 ( x + 2 ) + 2 log 3 ( y + 1 ) = 6 \log_2(x+2)^3 + \log_3(y+1)^2 = 6 \implies 3\log_2(x+2) + 2\log_3(y+1) = 6 log 2 ( x + 2 ) 3 + log 3 ( y + 1 ) 2 = 6 ⟹ 3 log 2 ( x + 2 ) + 2 log 3 ( y + 1 ) = 6 Primenjujemo osobine logaritama na drugu jednačinu. Osnove 4 4 4 i 9 9 9 zapisujemo kao 2 2 2^2 2 2 i 3 2 , 3^2 , 3 2 , a razlomak kao stepen na − 1 : -1 : − 1 :
log 2 2 ( x + 2 ) 4 + log 3 2 ( y + 1 ) − 1 = 4 \log_{2^2}(x+2)^4 + \log_{3^2}(y+1)^{-1} = 4 log 2 2 ( x + 2 ) 4 + log 3 2 ( y + 1 ) − 1 = 4 Izvlačimo eksponente ispred logaritma:
4 2 log 2 ( x + 2 ) − 1 2 log 3 ( y + 1 ) = 4 ⟹ 2 log 2 ( x + 2 ) − 1 2 log 3 ( y + 1 ) = 4 \frac{4}{2}\log_2(x+2) - \frac{1}{2}\log_3(y+1) = 4 \implies 2\log_2(x+2) - \frac{1}{2}\log_3(y+1) = 4 2 4 log 2 ( x + 2 ) − 2 1 log 3 ( y + 1 ) = 4 ⟹ 2 log 2 ( x + 2 ) − 2 1 log 3 ( y + 1 ) = 4 Uvodimo smene u = log 2 ( x + 2 ) u = \log_2(x+2) u = log 2 ( x + 2 ) i v = log 3 ( y + 1 ) . v = \log_3(y+1) . v = log 3 ( y + 1 ) . Sistem postaje:
{ 3 u + 2 v = 6 2 u − 1 2 v = 4 \begin{cases} 3u + 2v = 6 \\ 2u - \frac{1}{2}v = 4 \end{cases} { 3 u + 2 v = 6 2 u − 2 1 v = 4 Rešavamo dobijeni sistem linearnih jednačina. Množenjem druge jednačine sa 4 4 4 dobijamo:
{ 3 u + 2 v = 6 8 u − 2 v = 16 \begin{cases} 3u + 2v = 6 \\ 8u - 2v = 16 \end{cases} { 3 u + 2 v = 6 8 u − 2 v = 16 Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo vrednost za u : u : u :
11 u = 22 ⟹ u = 2 11u = 22 \implies u = 2 11 u = 22 ⟹ u = 2 Zamenom u = 2 u = 2 u = 2 u prvu jednačinu računamo v : v : v :
3 ⋅ 2 + 2 v = 6 ⟹ 6 + 2 v = 6 ⟹ 2 v = 0 ⟹ v = 0 3 \cdot 2 + 2v = 6 \implies 6 + 2v = 6 \implies 2v = 0 \implies v = 0 3 ⋅ 2 + 2 v = 6 ⟹ 6 + 2 v = 6 ⟹ 2 v = 0 ⟹ v = 0 Vraćamo smene da bismo našli x x x i y : y : y :
{ log 2 ( x + 2 ) = 2 log 3 ( y + 1 ) = 0 ⟹ { x + 2 = 2 2 y + 1 = 3 0 \begin{cases} \log_2(x+2) = 2 \\ \log_3(y+1) = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x+2 = 2^2 \\ y+1 = 3^0 \end{cases} { log 2 ( x + 2 ) = 2 log 3 ( y + 1 ) = 0 ⟹ { x + 2 = 2 2 y + 1 = 3 0 Rešavamo jednačine po x x x i y : y : y :
{ x + 2 = 4 ⟹ x = 2 y + 1 = 1 ⟹ y = 0 \begin{cases} x+2 = 4 \implies x = 2 \\ y+1 = 1 \implies y = 0 \end{cases} { x + 2 = 4 ⟹ x = 2 y + 1 = 1 ⟹ y = 0 Proveravamo da li dobijene vrednosti pripadaju domenu ( x > − 2 , x > -2 , x > − 2 , y > − 1 y > -1 y > − 1 ). Pošto uslovi važe, konačno rešenje sistema je:
( x , y ) = ( 2 , 0 ) (x, y) = (2, 0) ( x , y ) = ( 2 , 0 )