2355. Logaritamske jednačine

Prvo, određujemo uslove definisanosti za logaritamsku jednačinu. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan.

\begin{cases} x > 0 \\ (x + y)^2 > 0 \implies x + y \neq 0 \end{cases}

Transformišemo prvu jednačinu sistema tako da sve osnove budu jednake 3.

3^y \cdot (3^2)^x = 3^4 \implies 3^{2x + y} = 3^4

Izjednačavanjem eksponenata dobijamo linearnu vezu između $x$ i $y .$

2x + y = 4 \implies y = 4 - 2x

Sada transformišemo drugu jednačinu koristeći svojstva logaritama: $\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$ i $c \log a = \log a^c .$

\log \frac{(x + y)^2}{x} = \log 3^2 \implies \frac{(x + y)^2}{x} = 9

Množenjem sa $x$ (što je dozvoljeno jer je $x > 0$ ) dobijamo:

(x + y)^2 = 9x

Zamenjujemo izraz za $y$ iz prve jednačine ( $y = 4 - 2x$ ) u dobijenu jednačinu.

(x + 4 - 2x)^2 = 9x \implies (4 - x)^2 = 9x

Kvadriramo binom i sređujemo izraz kako bismo dobili kvadratnu jednačinu po $x .$

16 - 8x + x^2 = 9x \implies x^2 - 17x + 16 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu.

x_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2} = \frac{17 \pm 15}{2} \implies x_1 = 16, \; x_2 = 1

Za svako rešenje $x$ računamo odgovarajuće $y$ koristeći vezu $y = 4 - 2x .$

\begin{cases} x_1 = 16 \implies y_1 = 4 - 2 \cdot 16 = -28 \\ x_2 = 1 \implies y_2 = 4 - 2 \cdot 1 = 2 \end{cases}

Proveravamo uslove definisanosti ( $x > 0$ i $x + y \neq 0$ ). Oba rešenja zadovoljavaju uslove, pa zapisujemo konačan skup rešenja sistema.

(x, y) \in \{(16, -28), (1, 2)\}

2355.Logaritamske jednačine