2367. Logaritamske jednačine

Zbog prisustva logaritma, definišemo domen. Argument logaritma mora biti strogo pozitivan.

x > 0

Iz prve jednačine izražavamo nepoznatu $y .$

y = 1 + \log_3 x

Zamenjujemo izraz za $y$ u drugu jednačinu.

x^{1 + \log_3 x} = 3^{12}

Logaritmujemo obe strane jednačine za osnovu 3.

\log_3(x^{1 + \log_3 x}) = \log_3(3^{12})

Primenjujemo pravilo za logaritam stepena: $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b .$

(1 + \log_3 x) \cdot \log_3 x = 12

Uvodimo smenu $t = \log_3 x .$

(1 + t) \cdot t = 12

Množimo i prebacujemo sve članove na levu stranu kako bismo dobili kvadratnu jednačinu.

t^2 + t - 12 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = 3, \quad t_2 = -4

Vraćamo smenu za prvi slučaj $t_1 = 3 .$

\log_3 x = 3 \implies x_1 = 3^3 = 27

Računamo odgovarajuće $y_1$ koristeći izraz $y = 1 + \log_3 x .$

y_1 = 1 + 3 = 4

Vraćamo smenu za drugi slučaj $t_2 = -4 .$

\log_3 x = -4 \implies x_2 = 3^{-4} = \frac{1}{81}

Računamo odgovarajuće $y_2 .$

y_2 = 1 + (-4) = -3

Proveravamo uslov domena $x > 0 .$ Oba rešenja za $x$ su pozitivna, pa su oba rešenja validna. Konačna rešenja sistema su uređeni parovi $(x, y) .$

(x, y) \in \left\{ (27, 4), \left(\frac{1}{81}, -3\right) \right\}

2367.Logaritamske jednačine