4034.

615.g

TEKST ZADATKA

Odrediti najmanji zajednički sadržalac (NZS) za sledeće polinome:

a2−b2,a2+b2,(a2−b2)2a^2 - b^2, \quad a^2 + b^2, \quad (a^2 - b^2)^2
REŠENJE ZADATKA

Prvi korak u pronalaženju NZS je rastavljanje svakog polinoma na proste činioce. Prvi polinom je razlika kvadrata, ali ga možemo posmatrati i kao osnovni činilac jer se on već pojavljuje u trećem polinomu.

P1=a2−b2=(a−b)(a+b)P_1 = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Drugi polinom je zbir kvadrata. U skupu realnih brojeva, ovaj polinom se ne može dalje rastaviti na činioce.

P2=a2+b2P_2 = a^2 + b^2

Treći polinom je kvadrat razlike kvadrata. Možemo ga zapisati preko njegovih prostih činilaca.

P3=(a2−b2)2=((a−b)(a+b))2=(a−b)2(a+b)2P_3 = (a^2 - b^2)^2 = ((a-b)(a+b))^2 = (a-b)^2 (a+b)^2

Najmanji zajednički sadržalac (NZS) se formira tako što uzmemo svaki različit činilac koji se pojavljuje u bilo kom od polinoma, sa najvećim eksponentom sa kojim se taj činilac javlja.

Cˇinioci su: (a−b),(a+b),(a2+b2)\text{Činioci su: } (a-b), (a+b), (a^2+b^2)

Poređenjem stepena činilaca: - Za (a−b), (a-b) , najveći stepen je 2 (iz trećeg polinoma). - Za (a+b), (a+b) , najveći stepen je 2 (iz trećeg polinoma). - Za (a2+b2), (a^2+b^2) , najveći stepen je 1 (iz drugog polinoma).

NZS=(a−b)2(a+b)2(a2+b2)NZS = (a-b)^2 (a+b)^2 (a^2 + b^2)

Konačan izraz možemo zapisati i u sažetijem obliku koristeći činjenicu da je (a−b)2(a+b)2=(a2−b2)2. (a-b)^2(a+b)^2 = (a^2-b^2)^2 .

NZS=(a2−b2)2(a2+b2)NZS = (a^2 - b^2)^2 (a^2 + b^2)