4105.

623.lj

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz:

a3(a−2b)+b3(2a−b)(a−b)3(a+b)\frac{a^3(a - 2b) + b^3(2a - b)}{(a - b)^3(a + b)}
REŠENJE ZADATKA

Posmatrajmo samo brojilac i oslobodimo se zagrada množenjem:

a3(a−2b)+b3(2a−b)=a4−2a3b+2ab3−b4a^3(a - 2b) + b^3(2a - b) = a^4 - 2a^3b + 2ab^3 - b^4

Grupisaćemo prvi i četvrti član, kao i drugi i treći član:

(a4−b4)−(2a3b−2ab3)(a^4 - b^4) - (2a^3b - 2ab^3)

Rastavimo razliku kvadrata u prvoj zagradi i izvucimo zajednički činilac 2ab 2ab iz druge zagrade:

(a2−b2)(a2+b2)−2ab(a2−b2)(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) - 2ab(a^2 - b^2)

Sada možemo izvući zajednički činilac a2−b2 a^2 - b^2 ispred zagrade:

(a2−b2)(a2−2ab+b2)(a^2 - b^2)(a^2 - 2ab + b^2)

Prepoznajemo da je izraz u drugoj zagradi kvadrat binoma, a prvu zagradu možemo raspisati kao razliku kvadrata:

(a−b)(a+b)(a−b)2(a - b)(a + b)(a - b)^2

Množenjem istih osnova dobijamo konačan oblik brojioca:

(a−b)3(a+b)(a - b)^3(a + b)

Vratimo dobijeni brojilac u početni razlomak:

(a−b)3(a+b)(a−b)3(a+b)\frac{(a - b)^3(a + b)}{(a - b)^3(a + b)}

Skratimo iste činioce u brojiocu i imeniocu (uz uslov da je a≠b a \neq b i a≠−b a \neq -b ):

11