4216.

634.e

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i navedi uslove definisanosti:

(x39y3+3):(x+9y2x−3y)\left(\frac{x^3}{9y^3} + 3\right) : \left(x + \frac{9y^2}{x - 3y}\right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka moraju biti različiti od nule:

9y3≠0  ⟹  y≠0,x−3y≠0  ⟹  x≠3y9y^3 \neq 0 \implies y \neq 0, \quad x - 3y \neq 0 \implies x \neq 3y

Sređujemo izraz u prvoj zagradi tako što ga svodimo na zajednički imenilac:

x39y3+3=x3+27y39y3\frac{x^3}{9y^3} + 3 = \frac{x^3 + 27y^3}{9y^3}

Sređujemo izraz u drugoj zagradi svodeći ga na zajednički imenilac:

x+9y2x−3y=x(x−3y)+9y2x−3y=x2−3xy+9y2x−3yx + \frac{9y^2}{x - 3y} = \frac{x(x - 3y) + 9y^2}{x - 3y} = \frac{x^2 - 3xy + 9y^2}{x - 3y}

Proveravamo uslov da delilac ne sme biti nula. Izraz x2−3xy+9y2 x^2 - 3xy + 9y^2 je uvek pozitivan za y≠0, y \neq 0 , pa ne uvodi nove uslove definisanosti.

x2−3xy+9y2≠0x^2 - 3xy + 9y^2 \neq 0

Zapisujemo početni izraz koristeći sređene zagrade:

x3+27y39y3:x2−3xy+9y2x−3y\frac{x^3 + 27y^3}{9y^3} : \frac{x^2 - 3xy + 9y^2}{x - 3y}

Primenjujemo formulu za zbir kubova na izraz x3+27y3=x3+(3y)3: x^3 + 27y^3 = x^3 + (3y)^3 :

x3+27y3=(x+3y)(x2−3xy+9y2)x^3 + 27y^3 = (x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)

Deljenje menjamo množenjem recipročnom vrednošću i ubacujemo rastavljeni zbir kubova:

(x+3y)(x2−3xy+9y2)9y3⋅x−3yx2−3xy+9y2\frac{(x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)}{9y^3} \cdot \frac{x - 3y}{x^2 - 3xy + 9y^2}

Skraćujemo zajednički član x2−3xy+9y2 x^2 - 3xy + 9y^2 u brojiocu i imeniocu:

x+3y9y3⋅(x−3y)=(x+3y)(x−3y)9y3\frac{x + 3y}{9y^3} \cdot (x - 3y) = \frac{(x + 3y)(x - 3y)}{9y^3}

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata u brojiocu kako bismo dobili konačan rezultat:

x2−9y29y3\frac{x^2 - 9y^2}{9y^3}