4267. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Uprostićemo dati izraz:

\left( \frac{1}{4x + 2} - \frac{1 - x}{8x^3 + 1} : \frac{1 - 2x}{4x^2 - 2x + 1} \right) : \frac{2x - 1}{4x + 2} - \frac{1}{4x^2 - 4x + 1}

REŠENJE ZADATKA

Određujemo uslove definisanosti. Svi imenioci i izrazi kojima se deli moraju biti različiti od nule. Kvadratni trinom $4x^2 - 2x + 1$ je uvek pozitivan jer je njegova diskriminanta manja od nule.

\begin{aligned} 4x + 2 &\neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2} \\ 8x^3 + 1 &\neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2} \\ 1 - 2x &\neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2} \\ 2x - 1 &\neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2} \\ 4x^2 - 4x + 1 &\neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2} \end{aligned}

Na osnovu prethodnog koraka, zapisujemo konačan uslov definisanosti:

x \in \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\}

Faktorišemo polinome u izrazu koristeći izvlačenje zajedničkog činioca, zbir kubova i kvadrat binoma:

\begin{aligned} 4x + 2 &= 2(2x + 1) \\ 8x^3 + 1 &= (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) \\ 4x^2 - 4x + 1 &= (2x - 1)^2 \end{aligned}

Zamenjujemo faktorisane oblike u početni izraz:

\left( \frac{1}{2(2x + 1)} - \frac{1 - x}{(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)} : \frac{1 - 2x}{4x^2 - 2x + 1} \right) : \frac{2x - 1}{2(2x + 1)} - \frac{1}{(2x - 1)^2}

Deljenje razlomaka unutar zagrade prevodimo u množenje recipročnom vrednošću:

\left( \frac{1}{2(2x + 1)} - \frac{1 - x}{(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)} \cdot \frac{4x^2 - 2x + 1}{1 - 2x} \right) : \frac{2x - 1}{2(2x + 1)} - \frac{1}{(2x - 1)^2}

Skraćujemo izraz $4x^2 - 2x + 1$ u brojiocu i imeniocu:

\left( \frac{1}{2(2x + 1)} - \frac{1 - x}{(2x + 1)(1 - 2x)} \right) : \frac{2x - 1}{2(2x + 1)} - \frac{1}{(2x - 1)^2}

Svodimo razlomke unutar zagrade na zajednički imenilac, koji iznosi $2(2x + 1)(1 - 2x) :$

\left( \frac{1 - 2x}{2(2x + 1)(1 - 2x)} - \frac{2(1 - x)}{2(2x + 1)(1 - 2x)} \right) : \frac{2x - 1}{2(2x + 1)} - \frac{1}{(2x - 1)^2}

Zapisujemo pod istom razlomačkom crtom:

\frac{1 - 2x - 2(1 - x)}{2(2x + 1)(1 - 2x)} : \frac{2x - 1}{2(2x + 1)} - \frac{1}{(2x - 1)^2}

Sređujemo brojilac prvog razlomka:

\frac{1 - 2x - 2 + 2x}{2(2x + 1)(1 - 2x)} : \frac{2x - 1}{2(2x + 1)} - \frac{1}{(2x - 1)^2}

Nakon skraćivanja u brojiocu dobijamo:

\frac{-1}{2(2x + 1)(1 - 2x)} : \frac{2x - 1}{2(2x + 1)} - \frac{1}{(2x - 1)^2}

Izvlačimo znak minus iz izraza $1 - 2x$ u imeniocu kako bismo dobili $2x - 1 :$

\frac{-1}{-2(2x + 1)(2x - 1)} : \frac{2x - 1}{2(2x + 1)} - \frac{1}{(2x - 1)^2}

Minus u brojiocu i minus u imeniocu daju plus:

\frac{1}{2(2x + 1)(2x - 1)} : \frac{2x - 1}{2(2x + 1)} - \frac{1}{(2x - 1)^2}

Preostalo deljenje prevodimo u množenje recipročnom vrednošću:

\frac{1}{2(2x + 1)(2x - 1)} \cdot \frac{2(2x + 1)}{2x - 1} - \frac{1}{(2x - 1)^2}

Skraćujemo zajednički činilac $2(2x + 1) :$

\frac{1}{2x - 1} \cdot \frac{1}{2x - 1} - \frac{1}{(2x - 1)^2}

Množimo preostale razlomke:

\frac{1}{(2x - 1)^2} - \frac{1}{(2x - 1)^2}

Oduzimanjem istih izraza dobijamo konačan rezultat:

0

648.d