4279.

648.ž

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz:

a2−ax−x2x3−a3−1a−x+x+ax2+ax+a2\frac{a^2 - ax - x^2}{x^3 - a^3} - \frac{1}{a - x} + \frac{x + a}{x^2 + ax + a^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

x3−a3≠0,a−x≠0,x2+ax+a2≠0x^3 - a^3 \neq 0, \quad a - x \neq 0, \quad x^2 + ax + a^2 \neq 0

Rešavanjem ovih uslova dobijamo da izraz ima smisla za sve vrednosti x x i a a takve da su različite jedna od druge.

x≠ax \neq a

Faktorišemo imenilac prvog razlomka kao razliku kubova. Takođe, izdvajamo minus iz imenioca drugog razlomka (a−x=−(x−a) a - x = -(x - a) ) kako bismo promenili znak ispred razlomka.

a2−ax−x2(x−a)(x2+ax+a2)+1x−a+x+ax2+ax+a2\frac{a^2 - ax - x^2}{(x - a)(x^2 + ax + a^2)} + \frac{1}{x - a} + \frac{x + a}{x^2 + ax + a^2}

Svodimo razlomke na zajednički imenilac, koji je (x−a)(x2+ax+a2). (x - a)(x^2 + ax + a^2) .

a2−ax−x2+1⋅(x2+ax+a2)+(x+a)(x−a)(x−a)(x2+ax+a2)\frac{a^2 - ax - x^2 + 1 \cdot (x^2 + ax + a^2) + (x + a)(x - a)}{(x - a)(x^2 + ax + a^2)}

Množimo članove u brojiocu. Za poslednji sabirak primenjujemo formulu za razliku kvadrata.

a2−ax−x2+x2+ax+a2+x2−a2(x−a)(x2+ax+a2)\frac{a^2 - ax - x^2 + x^2 + ax + a^2 + x^2 - a^2}{(x - a)(x^2 + ax + a^2)}

Grupišemo slične monome u brojiocu kako bismo ih sabrali.

(−x2+x2+x2)+(−ax+ax)+(a2+a2−a2)(x−a)(x2+ax+a2)\frac{(-x^2 + x^2 + x^2) + (-ax + ax) + (a^2 + a^2 - a^2)}{(x - a)(x^2 + ax + a^2)}

Nakon potiranja suprotnih članova, brojilac se znatno uprošćava.

x2+a2(x−a)(x2+ax+a2)\frac{x^2 + a^2}{(x - a)(x^2 + ax + a^2)}

Na kraju, imenilac možemo ponovo zapisati kao razliku kubova, čime dobijamo konačan oblik izraza.

x2+a2x3−a3\frac{x^2 + a^2}{x^3 - a^3}