2744. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Domen funkcije: Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R}

Funkcija je periodična. Osnovni period funkcije $\sin(kx)$ je $T = \frac{2\pi}{k} .$

T = \frac{2\pi}{\frac{4}{3}} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}

Nule funkcije dobijamo rešavanjem jednačine $f(x) = 0 .$

2 \sin \left( \frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} \right) = 0

Rešavamo trigonometrijsku jednačinu:

\frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Izražavamo $x :$

x = \frac{3}{4} \left( k\pi - \frac{\pi}{3} \right) = \frac{3k\pi}{4} - \frac{\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}

Presek sa y-osom dobijamo za $x = 0 .$

f(0) = 2 \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}

Funkcija je pozitivna ( $f(x) > 0$ ) kada je sinus pozitivan:

2k\pi < \frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} < \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo nejednačinu po $x :$

2k\pi - \frac{\pi}{3} < \frac{4}{3}x < \frac{2\pi}{3} + 2k\pi

Množenjem sa $\frac{3}{4}$ dobijamo intervale u kojima je funkcija pozitivna:

x \in \left( \frac{3k\pi}{2} - \frac{\pi}{4}, \frac{3k\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je negativna ( $f(x) < 0$ ) na preostalim intervalima unutar perioda:

x \in \left( \frac{3k\pi}{2} + \frac{\pi}{2}, \frac{3k\pi}{2} + \frac{5\pi}{4} \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Računamo prvi izvod funkcije kako bismo ispitali monotonost i ekstremne vrednosti.

f'(x) = 2 \cos \left( \frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} \right) \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \cos \left( \frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} \right)

Stacionarne tačke nalazimo izjednačavanjem prvog izvoda sa nulom:

\cos \left( \frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} \right) = 0

Rešavamo jednačinu:

\frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Izražavamo $x :$

x = \frac{3}{4} \left( \frac{\pi}{6} + k\pi \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{3k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}

Maksimumi funkcije se dostižu kada je $\sin \left( \frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} \right) = 1 ,$ a vrednost funkcije je tada $y = 2 .$

\frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{3k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Minimumi funkcije se dostižu kada je $\sin \left( \frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} \right) = -1 ,$ a vrednost funkcije je tada $y = -2 .$

\frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{7\pi}{8} + \frac{3k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija raste ( $f'(x) > 0$ ) kada je kosinus pozitivan:

-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < \frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavanjem nejednačine dobijamo intervale rašćenja:

x \in \left( -\frac{5\pi}{8} + \frac{3k\pi}{2}, \frac{\pi}{8} + \frac{3k\pi}{2} \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija opada ( $f'(x) < 0$ ) na intervalima:

x \in \left( \frac{\pi}{8} + \frac{3k\pi}{2}, \frac{7\pi}{8} + \frac{3k\pi}{2} \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Računamo drugi izvod funkcije za ispitivanje konveksnosti i prevojnih tačaka.

f''(x) = \frac{8}{3} \left( -\sin \left( \frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} \right) \right) \cdot \frac{4}{3} = -\frac{32}{9} \sin \left( \frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} \right)

Prevojne tačke su nule drugog izvoda, što se u ovom slučaju poklapa sa nulama funkcije:

x = \frac{3k\pi}{4} - \frac{\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konveksna (okrenuta na gore, $f''(x) > 0$ ) kada je $\sin \left( \frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} \right) < 0 :$

x \in \left( \frac{3k\pi}{2} + \frac{\pi}{2}, \frac{3k\pi}{2} + \frac{5\pi}{4} \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konkavna (okrenuta na dole, $f''(x) < 0$ ) kada je $\sin \left( \frac{4}{3}x + \frac{\pi}{3} \right) > 0 :$

x \in \left( \frac{3k\pi}{2} - \frac{\pi}{4}, \frac{3k\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right), \quad k \in \mathbb{Z}

2744.Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija