2756.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafik funkcija (zadaci 859-864): f(x)=sin⁡4x+cos⁡4x. f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x .

REŠENJE ZADATKA

Pre početka ispitivanja toka, transformisaćemo funkciju u jednostavniji oblik korišćenjem trigonometrijskih identiteta.

f(x)=(sin⁡2x+cos⁡2x)2−2sin⁡2xcos⁡2xf(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x

Kako je sin⁡2x+cos⁡2x=1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 i 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x, 2\sin x \cos x = \sin 2x , dobijamo:

f(x)=12−12(2sin⁡xcos⁡x)2=1−12sin⁡22xf(x) = 1^2 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x

Primenom formule za polovinu ugla sin⁡2α=1−cos⁡2α2, \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} , funkcija postaje:

f(x)=1−12⋅1−cos⁡4x2=1−14+14cos⁡4x=34+14cos⁡4xf(x) = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x

1. Domen funkcije Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

Df=RD_f = \mathbb{R}

2. Parnost i periodičnost Proveravamo parnost funkcije:

f(−x)=34+14cos⁡(−4x)=34+14cos⁡4x=f(x)f(-x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(-4x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = f(x)

Funkcija je parna. Određujemo osnovni period funkcije:

T=2π4=π2T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

Zbog periodičnosti, dovoljno je ispitati funkciju na jednom periodu, na primer na intervalu [0,π2]. \left[0, \frac{\pi}{2}\right] .

3. Nule i znak funkcije Pošto je cos⁡4x≥−1 \cos 4x \ge -1 za svako x, x , važi:

f(x)≥34+14(−1)=12>0f(x) \ge \frac{3}{4} + \frac{1}{4}(-1) = \frac{1}{2} > 0

Funkcija nema nule i uvek je pozitivna.

4. Asimptote Funkcija je neprekidna na celom skupu realnih brojeva i periodična je, pa nema vertikalne, horizontalne ni kose asimptote.

5. Prvi izvod, monotonost i ekstremne vrednosti Računamo prvi izvod funkcije:

f′(x)=(34+14cos⁡4x)′=14(−sin⁡4x)⋅4=−sin⁡4xf'(x) = \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \right)' = \frac{1}{4}(-\sin 4x) \cdot 4 = -\sin 4x

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke:

−sin⁡4x=0  ⟹  4x=kπ  ⟹  x=kπ4,k∈Z-\sin 4x = 0 \implies 4x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}

Na posmatranom intervalu [0,π2], \left[0, \frac{\pi}{2}\right] , stacionarne tačke su x=0, x = 0 , x=π4 x = \frac{\pi}{4} i x=π2. x = \frac{\pi}{2} .

Analiziramo znak prvog izvoda na intervalu [0,π2]: \left[0, \frac{\pi}{2}\right] : Za x∈(0,π4) x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) je 4x∈(0,π), 4x \in (0, \pi) , pa je sin⁡4x>0 \sin 4x > 0 i f′(x)<0 f'(x) < 0 (funkcija opada). Za x∈(π4,π2) x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) je 4x∈(π,2π), 4x \in (\pi, 2\pi) , pa je sin⁡4x<0 \sin 4x < 0 i f′(x)>0 f'(x) > 0 (funkcija raste).

Funkcija dostiže lokalni minimum u tački x=π4: x = \frac{\pi}{4} :

f(π4)=34+14cos⁡π=34−14=12f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos \pi = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Funkcija dostiže lokalne maksimume u tačkama x=0 x = 0 i x=π2: x = \frac{\pi}{2} :

f(0)=f(π2)=34+14cos⁡0=1f(0) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 0 = 1

6. Drugi izvod, konveksnost i prevojne tačke Računamo drugi izvod funkcije:

f′′(x)=(−sin⁡4x)′=−4cos⁡4xf''(x) = (-\sin 4x)' = -4\cos 4x

Izjednačavamo drugi izvod sa nulom:

−4cos⁡4x=0  ⟹  4x=π2+kπ  ⟹  x=π8+kπ4,k∈Z-4\cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}

Na intervalu [0,π2], \left[0, \frac{\pi}{2}\right] , nule drugog izvoda su x=π8 x = \frac{\pi}{8} i x=3π8. x = \frac{3\pi}{8} .

Analiziramo znak drugog izvoda: Za x∈(0,π8) x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) je 4x∈(0,π2), 4x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , pa je cos⁡4x>0 \cos 4x > 0 i f′′(x)<0 f''(x) < 0 (funkcija je konkavna). Za x∈(π8,3π8) x \in \left(\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}\right) je 4x∈(π2,3π2), 4x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) , pa je cos⁡4x<0 \cos 4x < 0 i f′′(x)>0 f''(x) > 0 (funkcija je konveksna). Za x∈(3π8,π2) x \in \left(\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{2}\right) je 4x∈(3π2,2π)), 4x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)\right) , pa je cos⁡4x>0 \cos 4x > 0 i f′′(x)<0 f''(x) < 0 (funkcija je konkavna).

Prevojne tačke se nalaze u x=π8 x = \frac{\pi}{8} i x=3π8. x = \frac{3\pi}{8} . Računamo vrednosti funkcije u tim tačkama:

f(π8)=34+14cos⁡π2=34f\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos \frac{\pi}{2} = \frac{3}{4}

Slično za drugu prevojnu tačku:

f(3π8)=34+14cos⁡3π2=34f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos \frac{3\pi}{2} = \frac{3}{4}

Prevojne tačke na posmatranom intervalu su P1(π8,34) P_1\left(\frac{\pi}{8}, \frac{3}{4}\right) i P2(3π8,34). P_2\left(\frac{3\pi}{8}, \frac{3}{4}\right) .

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti