2763.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Odrediti period funkcija: f(x)=sin⁡3x f(x) = \sin^3 x ;

REŠENJE ZADATKA

Da bismo odredili osnovni period funkcije, možemo iskoristiti trigonometrijsku formulu za sinus trostrukog ugla kako bismo stepen sveli na linearni oblik.

Formula za sinus trostrukog ugla glasi:

sin⁡(3x)=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x

Izražavamo sin⁡3x \sin^3 x iz ove formule:

4sin⁡3x=3sin⁡x−sin⁡(3x)4\sin^3 x = 3\sin x - \sin(3x)

Deljenjem jednačine sa 4 dobijamo:

sin⁡3x=34sin⁡x−14sin⁡(3x)\sin^3 x = \frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin(3x)

Sada funkciju f(x) f(x) možemo zapisati kao zbir dve trigonometrijske funkcije:

f(x)=34sin⁡x−14sin⁡(3x)f(x) = \frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin(3x)

Osnovni period funkcije oblika asin⁡(bx) a\sin(bx) računamo po formuli T=2π∣b∣. T = \frac{2\pi}{|b|} .

Određujemo period prvog sabirka f1(x)=34sin⁡x: f_1(x) = \frac{3}{4}\sin x :

T1=2π1=2πT_1 = \frac{2\pi}{1} = 2\pi

Određujemo period drugog sabirka f2(x)=14sin⁡(3x): f_2(x) = \frac{1}{4}\sin(3x) :

T2=2π3T_2 = \frac{2\pi}{3}

Osnovni period cele funkcije f(x) f(x) je najmanji zajednički sadržalac (NZS) perioda njenih sabiraka:

T=NZS(T1,T2)=NZS(2π,2π3)T = \text{NZS}(T_1, T_2) = \text{NZS}\left(2\pi, \frac{2\pi}{3}\right)

Najmanji zajednički sadržalac za 2π 2\pi i 2π3 \frac{2\pi}{3} je 2π, 2\pi , jer se 2π 2\pi može dobiti množenjem 2π3 \frac{2\pi}{3} celim brojem 3.

T=2πT = 2\pi

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti