2765.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafike funkcija (zadaci 837-845): y=∣cos⁡x∣. y = |\cos x| .

REŠENJE ZADATKA

Po definiciji apsolutne vrednosti, funkciju možemo zapisati kao:

∣cos⁡x∣={cos⁡x,za cos⁡x≥0−cos⁡x,za cos⁡x<0|\cos x| = \begin{cases} \cos x, & \text{za } \cos x \ge 0 \\ -\cos x, & \text{za } \cos x < 0 \end{cases}

Domen funkcije: Kosinusna funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D=RD = \mathbb{R}

Parnost funkcije: Proveravamo da li je funkcija parna ili neparna.

f(−x)=∣cos⁡(−x)∣=∣cos⁡x∣=f(x)f(-x) = |\cos(-x)| = |\cos x| = f(x)

Pošto je f(−x)=f(x), f(-x) = f(x) , funkcija je parna, što znači da je njen grafik simetričan u odnosu na y-osu.

Periodičnost: Osnovni period funkcije cos⁡x \cos x je 2π. 2\pi . Međutim, zbog apsolutne vrednosti, negativni delovi grafika postaju pozitivni, pa se osnovni period smanjuje na pola.

f(x+π)=∣cos⁡(x+π)∣=∣−cos⁡x∣=∣cos⁡x∣=f(x)  ⟹  T=πf(x+\pi) = |\cos(x+\pi)| = |-\cos x| = |\cos x| = f(x) \implies T = \pi

Nule funkcije: Tražimo tačke u kojima grafik seče x-osu.

y=0  ⟺  ∣cos⁡x∣=0  ⟺  cos⁡x=0  ⟺  x=π2+kπ,k∈Zy = 0 \iff |\cos x| = 0 \iff \cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Znak funkcije: Zbog apsolutne vrednosti, funkcija je uvek nenegativna.

y≥0za svako x∈Ry \ge 0 \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R}

Prvi izvod funkcije: Zbog periodičnosti (T=π T = \pi ) i parnosti, dovoljno je ispitati funkciju na intervalu [0,π]. [0, \pi] . Na ovom intervalu funkciju delimo na dva dela zbog apsolutne vrednosti.

y′={(cos⁡x)′=−sin⁡x,x∈[0,π2)(−cos⁡x)′=sin⁡x,x∈(π2,π]y' = \begin{cases} (\cos x)' = -\sin x, & x \in [0, \frac{\pi}{2}) \\ (-\cos x)' = \sin x, & x \in (\frac{\pi}{2}, \pi] \end{cases}

Monotonost na intervalu [0,π]: [0, \pi] :

x∈(0,π2)  ⟹  y′=−sin⁡x<0  ⟹  funkcija opadax∈(π2,π)  ⟹  y′=sin⁡x>0  ⟹  funkcija raste\begin{aligned} &x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \implies y' = -\sin x < 0 \implies \text{funkcija opada} \\ &x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \implies y' = \sin x > 0 \implies \text{funkcija raste} \end{aligned}

Ekstremne vrednosti: Iz promene znaka prvog izvoda zaključujemo da funkcija ima lokalni minimum u x=π2. x = \frac{\pi}{2} . U tačkama x=0 x = 0 i x=π x = \pi funkcija dostiže lokalni maksimum.

ymin=f(π2)=0ymax=f(0)=f(π)=1\begin{aligned} &y_{min} = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \\ &y_{max} = f(0) = f(\pi) = 1 \end{aligned}

Drugi izvod funkcije na intervalu [0,π]∖{π2}: [0, \pi] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}\right\} :

y′′={(−sin⁡x)′=−cos⁡x,x∈(0,π2)(sin⁡x)′=cos⁡x,x∈(π2,π)y'' = \begin{cases} (-\sin x)' = -\cos x, & x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \\ (\sin x)' = \cos x, & x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \end{cases}

Konveksnost i konkavnost: Na intervalu (0,π2) (0, \frac{\pi}{2}) je −cos⁡x<0, -\cos x < 0 , a na intervalu (π2,π) (\frac{\pi}{2}, \pi) je cos⁡x<0. \cos x < 0 . Funkcija je svuda konkavna i nema prevojnih tačaka.

y′′<0za svako x≠π2+kπy'' < 0 \quad \text{za svako } x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

Asimptote: Funkcija je neprekidna na celom domenu i periodična, pa nema vertikalne, horizontalne ni kose asimptote.

Grafik funkcije: Grafik se crta tako što se nacrta grafik funkcije y=cos⁡x, y = \cos x , a zatim se svi delovi grafika koji se nalaze ispod x-ose preslikaju simetrično u odnosu na x-osu (preklope se na gore). U tačkama x=π2+kπ x = \frac{\pi}{2} + k\pi grafik ima "šiljke" jer prvi izvod tu ne postoji.

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti