2769. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Prema definiciji apsolutne vrednosti, izraz pod apsolutnom vrednošću definišemo na sledeći način:

|\cos x| = \begin{cases} \cos x, & \text{za } \cos x \ge 0 \\ -\cos x, & \text{za } \cos x < 0 \end{cases}

Za određivanje ekstremnih vrednosti, posmatramo opseg vrednosti funkcije kosinus. Znamo da za svako realno $x$ važi:

0 \le |\cos x| \le 1

Množenjem nejednakosti sa $-1$ menja se smer nejednakosti, pa dobijamo:

0 \ge -|\cos x| \ge -1

Dodavanjem broja $2$ svim stranama nejednakosti, dobijamo opseg vrednosti imenioca:

2 \ge 2 - |\cos x| \ge 1

Zapisano u uobičajenom redosledu, to je:

1 \le 2 - |\cos x| \le 2

Pošto su sve vrednosti pozitivne, uzimanjem recipročne vrednosti menja se smer nejednakosti:

1 \ge \frac{1}{2 - |\cos x|} \ge \frac{1}{2}

Odnosno, opseg vrednosti funkcije $y$ je:

\frac{1}{2} \le y \le 1

Minimalna vrednost funkcije je $y_{min} = \frac{1}{2} .$ Ona se dostiže kada je imenilac najveći, odnosno kada je $|\cos x| = 0 .$

\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Maksimalna vrednost funkcije je $y_{max} = 1 .$ Ona se dostiže kada je imenilac najmanji, odnosno kada je $|\cos x| = 1 .$

\cos x = \pm 1 \implies x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

2769.Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija