508. Parcijalna integracija

TEKST ZADATKA

Odrwditi integral:

\int{\frac{x^2\arctg{x}}{1+x^2}\space dt}

REŠENJE ZADATKA

Zadati integral se rešava metodom parcijalne integracije. Izabrati $u$ i $dv:$

u=\arctg{x} \quad dv=\frac{x^2}{1+x^2}\space dx

DODATNO OBJAŠNJENJE

Integral $\int{\frac{x^2}{1+x^2}\space dx}$ se rešava sledećom metodom:

\int{\frac{x^2+1-1}{1+x^2}\space dt}

Primeniti pravilo za sabiranje (tj. oduzimanje) integrala:

\int{\frac{\cancel{1+x^2}}{\cancel{1+x^2}}\space dx}-\int{\frac{1}{1+x^2}\space dx}=\int{\space dt}+\int{\frac{1}{1+x^2}\space dx}

Primeniti tablični integral:

x-\arctg{x}

du=\frac{1}{1+x^2}\space dx \quad v=x-\arctg{x}

Primeniti formulu za parcijalnu integraciju: $\int{u \cdot dv} = u \cdot v - \int{v \cdot du}$

\arctg{x}(x-\arctg{x})-\int{\frac{x-\arctg{x}}{1+x^2}\space dx}

Primeniti pravilo za sabiranje (tj. oduzimanje) integrala:

\arctg{x}(x-\arctg{x})-\int{\frac{x}{1+x^2}\space dx}+\int{\frac{\arctg{x}}{1+x^2}\space dx}

DODATNO OBJAŠNJENJE

Potrebno je uvesti dve smene $1+x^2=m$ u integralu $\int{\frac{x}{1+x^2}\space dx}$ i $\arctg{x}=t$ u integralu $\int{\frac{\arctg{x}}{1+x^2}\space dx}.$

Uraditi prvi izvod smene za $m.$

dx=\frac{dm}{2x}

Uraditi prvi izvod smene za $t.$

dx=(1+x^2)dt

Uvrstiti smene u izraz:

\arctg{x}(x-\arctg{x})-\int{\frac{\cancel{x}}{m}\cdot\frac{dm}{2\cancel{x}}}+\int{\frac{t\cancel{(1+x^2)}}{\cancel{1+x^2}}\space dt}=\arctg{x}(x-\arctg{x})-\int{\frac{dm}{2m}}+\int{t\space dt}

Primeniti tablične integrale:

\arctg{x}(x-\arctg{x})-\frac{1}{2}\ln{(m)}+\frac{t^2}{2}+C

Vratiti smenu:

\arctg{x}(x-\arctg{x})-\frac{1}{2}\ln{(1+x^2)}+\frac{\arctg{x}^2}{2}+C

Srediti izraz:

x\arctg{x}-\frac{\arctg^2{x}}{2}-\frac{1}{2}\ln{(1+x^2)}+C

Smena+parcijalna 10