3997. Polinomi jedne promenljive

TEKST ZADATKA

Ne izvodeći deljenje dokazati da je polinom $p(x) = (x^3 - 8)^5 + (x^2 - 4)^3$ deljiv sa $x - 2 .$

REŠENJE ZADATKA

Prema posledici Bezuove teoreme, polinom $p(x)$ je deljiv binomom $x - a$ ako i samo ako je $p(a) = 0 .$

U našem slučaju, treba da proverimo da li je polinom deljiv sa $x - 2 ,$ što znači da je $a = 2 .$ Računamo vrednost polinoma za $x = 2 .$

p(2) = (2^3 - 8)^5 + (2^2 - 4)^3

Računamo vrednosti stepena unutar zagrada.

p(2) = (8 - 8)^5 + (4 - 4)^3

Oduzimamo vrednosti unutar zagrada.

p(2) = 0^5 + 0^3

Sabiranjem dobijamo konačnu vrednost polinoma u tački $x = 2 .$

p(2) = 0

Pošto smo dobili da je $p(2) = 0 ,$ na osnovu Bezuove teoreme zaključujemo da je dati polinom deljiv sa $x - 2 ,$ čime je dokaz završen.

611