3057.

22.a

TEKST ZADATKA

Dopuniti rečenicu rečima potrebno, dovoljno ili potrebno i dovoljno: x2=9 x^2 = 9 je ...... za x=−3 x = -3 ili x=3. x = 3 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo analiziramo uslov x2=9. x^2 = 9 . Rešavanjem ove kvadratne jednačine dobijamo skup vrednosti za x. x .

x2=9  ⟹  x=±9  ⟹  x=3 ili x=−3x^2 = 9 \implies x = \pm \sqrt{9} \implies x = 3 \text{ ili } x = -3

Označimo iskaz P P kao x2=9 x^2 = 9 i iskaz Q Q kao x=−3∨x=3. x = -3 \lor x = 3 . Proveravamo da li važi implikacija P  ⟹  Q. P \implies Q .

x2=9  ⟹  (x=3∨x=−3)x^2 = 9 \implies (x = 3 \lor x = -3)

Pošto je implikacija P  ⟹  Q P \implies Q tačna, kažemo da je uslov P P dovoljan za Q. Q . Zatim proveravamo obrnutu implikaciju Q  ⟹  P. Q \implies P .

(x=3∨x=−3)  ⟹  x2=9(x = 3 \lor x = -3) \implies x^2 = 9

Pošto je i obrnuta implikacija Q  ⟹  P Q \implies P tačna, uslov P P je takođe i potreban za Q. Q . Kada važe oba smera, uslov je potreban i dovoljan.

x2=9  ⟺  (x=−3∨x=3)x^2 = 9 \iff (x = -3 \lor x = 3)

Zaključujemo da je iskaz x2=9 x^2 = 9 ekvivalentan iskazu x=−3 x = -3 ili x=3. x = 3 .

Resˇenje: potrebno i dovoljno\text{Rešenje: potrebno i dovoljno}