3536.

231.2

TEKST ZADATKA

Izračunati: 2) xy xy ;

REŠENJE ZADATKA

Pošto konkretne vrednosti za brojeve x x i y y nisu zadate, prikazaćemo opšti postupak za računanje apsolutne i relativne greške proizvoda dva približna broja, na osnovu priloženog gradiva. Neka su x′ x' i y′ y' približne vrednosti tačnih brojeva x x i y. y .

Apsolutna greška približnog proizvoda x′y′ x'y' po definiciji iznosi:

Δ(x′y′)=∣xy−x′y′∣\Delta(x'y') = |xy - x'y'|

Po definiciji apsolutne vrednosti, izraz za grešku proizvoda definišemo kao:

∣xy−x′y′∣={xy−x′y′,za xy−x′y′≥0−(xy−x′y′),za xy−x′y′<0|xy - x'y'| = \begin{cases} xy - x'y', & \text{za } xy - x'y' \ge 0 \\ -(xy - x'y'), & \text{za } xy - x'y' < 0 \end{cases}

Takođe, za tačne vrednosti x x i y y koje će nam biti potrebne u daljem radu, apsolutne vrednosti definišemo kao:

∣x∣={x,za x≥0−x,za x<0|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

I na isti način za broj y: y :

∣y∣={y,za y≥0−y,za y<0|y| = \begin{cases} y, & \text{za } y \ge 0 \\ -y, & \text{za } y < 0 \end{cases}

Da bismo ocenili grešku, prvo računamo razliku tačnog i približnog proizvoda. Približne vrednosti možemo zapisati kao x′=x−(x−x′) x' = x - (x - x') i y′=y−(y−y′). y' = y - (y - y') . Zamenom u izraz za proizvod i množenjem dobijamo:

xy−x′y′=xy−(x−(x−x′))(y−(y−y′))=x(y−y′)+y(x−x′)−(x−x′)(y−y′)xy - x'y' = xy - (x - (x - x'))(y - (y - y')) = x(y - y') + y(x - x') - (x - x')(y - y')

Primenom osobina apsolutne vrednosti (nejednakost trougla) na ovu razliku, i zanemarivanjem proizvoda malih grešaka (x−x′)(y−y′), (x - x')(y - y') , dobijamo približnu ocenu apsolutne greške proizvoda:

Δ(x′y′)≈∣x∣⋅∣y−y′∣+∣y∣⋅∣x−x′∣=∣x∣Δ(y′)+∣y∣Δ(x′)\Delta(x'y') \approx |x|\cdot|y - y'| + |y|\cdot|x - x'| = |x|\Delta(y') + |y|\Delta(x')

Apsolutnu vrednost tačnog proizvoda definišemo kao:

∣xy∣={xy,za xy≥0−xy,za xy<0|xy| = \begin{cases} xy, & \text{za } xy \ge 0 \\ -xy, & \text{za } xy < 0 \end{cases}

Relativna greška proizvoda x′y′ x'y' se dobija deljenjem apsolutne greške sa apsolutnom vrednošću tačnog proizvoda ∣xy∣: |xy| :

δ(x′y′)=Δ(x′y′)∣xy∣\delta(x'y') = \frac{\Delta(x'y')}{|xy|}

Zamenom približnog izraza za apsolutnu grešku u formulu za relativnu grešku dobijamo:

δ(x′y′)≈∣x∣Δ(y′)+∣y∣Δ(x′)∣x∣∣y∣\delta(x'y') \approx \frac{|x|\Delta(y') + |y|\Delta(x')}{|x||y|}

Razdvajanjem na dva razlomka i skraćivanjem, dolazimo do konačne formule koja pokazuje da je relativna greška proizvoda približno jednaka zbiru relativnih grešaka činilaca:

δ(x′y′)≈Δ(x′)∣x∣+Δ(y′)∣y∣=δ(x′)+δ(y′)\delta(x'y') \approx \frac{\Delta(x')}{|x|} + \frac{\Delta(y')}{|y|} = \delta(x') + \delta(y')