3539. Približne vrednosti realnih brojeva

TEKST ZADATKA

Izračunati: 4) $x/y .$

REŠENJE ZADATKA

S obzirom na to da konkretne vrednosti nisu date, zadatak se svodi na određivanje formula za apsolutnu i relativnu grešku količnika dva približna broja $x$ i $y .$

Po definiciji apsolutne vrednosti, za broj $x$ važi:

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Za broj $y$ apsolutna vrednost je:

|y| = \begin{cases} y, & \text{za } y \ge 0 \\ -y, & \text{za } y < 0 \end{cases}

Za količnik $\frac{x}{y}$ apsolutna vrednost se definiše kao:

\left|\frac{x}{y}\right| = \begin{cases} \frac{x}{y}, & \text{za } \frac{x}{y} \ge 0 \\ -\frac{x}{y}, & \text{za } \frac{x}{y} < 0 \end{cases}

Relativna greška količnika dva broja približno je jednaka zbiru relativnih grešaka tih brojeva:

\delta\left(\frac{x}{y}\right) \approx \delta(x) + \delta(y)

Koristeći definiciju relativne greške $\delta(x) = \frac{\Delta(x)}{|x|} ,$ izraz možemo zapisati kao:

\delta\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{\Delta(x)}{|x|} + \frac{\Delta(y)}{|y|}

Apsolutna greška količnika se računa množenjem relativne greške sa apsolutnom vrednošću samog količnika:

\Delta\left(\frac{x}{y}\right) = \left|\frac{x}{y}\right| \cdot \delta\left(\frac{x}{y}\right)

Zamenom prethodno dobijenog izraza za relativnu grešku dobijamo:

\Delta\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{|x|}{|y|} \cdot \left( \frac{\Delta(x)}{|x|} + \frac{\Delta(y)}{|y|} \right)

Množenjem svakog člana u zagradi sa $\frac{|x|}{|y|}$ računamo izraz za apsolutnu grešku:

\Delta\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{\Delta(x)}{|y|} + \frac{|x| \cdot \Delta(y)}{|y|^2}

Svođenjem na zajednički imenilac $|y|^2 = y^2$ dobijamo konačan oblik formule za apsolutnu grešku količnika:

\Delta\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{|y| \cdot \Delta(x) + |x| \cdot \Delta(y)}{y^2}

231.4