3682.

307

TEKST ZADATKA

Neka je povećanjem cena nekog proizvoda za x x procenata, pa smanjenjem nove cene za y y procenata dobijena početna cena tog proizvoda. Izraziti y y u funkciji od x. x .

REŠENJE ZADATKA

Neka je početna cena proizvoda C. C .

Nakon povećanja cene za x x procenata, nova cena C1 C_1 iznosi:

C1=C+C⋅x100=C(1+x100)C_1 = C + C \cdot \frac{x}{100} = C \left(1 + \frac{x}{100}\right)

Nakon smanjenja nove cene C1 C_1 za y y procenata, dobijamo konačnu cenu C2: C_2 :

C2=C1−C1⋅y100=C1(1−y100)C_2 = C_1 - C_1 \cdot \frac{y}{100} = C_1 \left(1 - \frac{y}{100}\right)

Zamenom izraza za C1 C_1 u jednačinu za C2, C_2 , dobijamo:

C2=C(1+x100)(1−y100)C_2 = C \left(1 + \frac{x}{100}\right) \left(1 - \frac{y}{100}\right)

Prema uslovu zadatka, konačna cena je jednaka početnoj ceni, odnosno C2=C. C_2 = C .

C(1+x100)(1−y100)=CC \left(1 + \frac{x}{100}\right) \left(1 - \frac{y}{100}\right) = C

Pošto je cena proizvoda C≠0, C \neq 0 , možemo podeliti obe strane jednačine sa C: C :

(1+x100)(1−y100)=1\left(1 + \frac{x}{100}\right) \left(1 - \frac{y}{100}\right) = 1

Izražavamo izraz sa y y preko izraza sa x: x :

1−y100=11+x1001 - \frac{y}{100} = \frac{1}{1 + \frac{x}{100}}

Sređujemo imenilac na desnoj strani:

1−y100=1100+x1001 - \frac{y}{100} = \frac{1}{\frac{100 + x}{100}}

Rešavamo dvojni razlomak:

1−y100=100100+x1 - \frac{y}{100} = \frac{100}{100 + x}

Prebacujemo nepoznate na jednu, a poznate na drugu stranu:

y100=1−100100+x\frac{y}{100} = 1 - \frac{100}{100 + x}

Svodeći na zajednički imenilac, dobijamo:

y100=100+x−100100+x\frac{y}{100} = \frac{100 + x - 100}{100 + x}

Sređujemo brojilac:

y100=x100+x\frac{y}{100} = \frac{x}{100 + x}

Množenjem obe strane sa 100, konačno izražavamo y y u funkciji od x: x :

y=100x100+xy = \frac{100x}{100 + x}