3644.

275

TEKST ZADATKA

Iznos od 1235 1235 dinara treba podeliti između osoba A, A , B, B , C C i D D tako da se delovi što ih dobijaju C C i A A odnose kao 5:2, 5 : 2 , delovi što ih dobijaju B B i D D kao 1:3, 1 : 3 , a delovi koje dobijaju A A i D D kao 3:4. 3 : 4 . Koliko svaka osoba dobija novca?

REŠENJE ZADATKA

Neka su A, A , B, B , C C i D D iznosi koje dobijaju odgovarajuće osobe. Zbir svih iznosa je jednak ukupnom iznosu od 1235 1235 dinara.

A+B+C+D=1235A + B + C + D = 1235

Zapišimo date odnose (razmere) između iznosa koje osobe dobijaju:

C:A=5:2B:D=1:3A:D=3:4\begin{aligned} C : A &= 5 : 2 \\ B : D &= 1 : 3 \\ A : D &= 3 : 4 \end{aligned}

Da bismo rešili zadatak, potrebno je da sve iznose svedemo na jedinstvenu produženu proporciju A:B:C:D. A : B : C : D . Počećemo od povezivanja C, C , A A i D D preko zajedničkog člana A. A .

Imamo razmere C:A=5:2 C : A = 5 : 2 i A:D=3:4. A : D = 3 : 4 . Da bismo ih spojili, potrebno je da broj koji odgovara A A bude isti u obe razmere. Najmanji zajednički sadržalac za brojeve 2 2 i 3 3 je 6. 6 .

Proširujemo prvu razmeru sa 3, 3 , a drugu sa 2: 2 :

C:A=(5⋅3):(2⋅3)=15:6A:D=(3⋅2):(4⋅2)=6:8\begin{aligned} C : A &= (5 \cdot 3) : (2 \cdot 3) = 15 : 6 \\ A : D &= (3 \cdot 2) : (4 \cdot 2) = 6 : 8 \end{aligned}

Sada možemo da zapišemo produženu proporciju za C, C , A A i D: D :

C:A:D=15:6:8C : A : D = 15 : 6 : 8

Sada treba da uključimo i B B koristeći razmeru B:D=1:3. B : D = 1 : 3 . U produženoj proporciji D D odgovara broju 8, 8 , dok u novoj razmeri odgovara broju 3. 3 . Najmanji zajednički sadržalac za 8 8 i 3 3 je 24. 24 .

Proširujemo produženu proporciju sa 3, 3 , a razmeru B:D B : D sa 8: 8 :

C:A:D=(15⋅3):(6⋅3):(8⋅3)=45:18:24B:D=(1⋅8):(3⋅8)=8:24\begin{aligned} C : A : D &= (15 \cdot 3) : (6 \cdot 3) : (8 \cdot 3) = 45 : 18 : 24 \\ B : D &= (1 \cdot 8) : (3 \cdot 8) = 8 : 24 \end{aligned}

Sada možemo da zapišemo jedinstvenu produženu proporciju za sve četiri osobe (poređano po abecedi):

A:B:C:D=18:8:45:24A : B : C : D = 18 : 8 : 45 : 24

Uvodimo koeficijent proporcionalnosti k. k . Tada iznose možemo izraziti kao:

A=18kB=8kC=45kD=24k\begin{aligned} A &= 18k \\ B &= 8k \\ C &= 45k \\ D &= 24k \end{aligned}

Zamenjujemo ove izraze u početnu jednačinu za ukupan iznos:

18k+8k+45k+24k=123518k + 8k + 45k + 24k = 1235

Sabiramo koeficijente uz k k i računamo vrednost koeficijenta proporcionalnosti:

95k=1235k=123595k=13\begin{aligned} 95k &= 1235 \\ k &= \frac{1235}{95} \\ k &= 13 \end{aligned}

Sada računamo koliko je novca dobila svaka osoba zamenom vrednosti k=13: k = 13 :

A=18⋅13=234B=8⋅13=104C=45⋅13=585D=24⋅13=312\begin{aligned} A &= 18 \cdot 13 = 234 \\ B &= 8 \cdot 13 = 104 \\ C &= 45 \cdot 13 = 585 \\ D &= 24 \cdot 13 = 312 \end{aligned}

Osoba A A dobija 234 234 dinara, osoba B B dobija 104 104 dinara, osoba C C dobija 585 585 dinara, a osoba D D dobija 312 312 dinara.