1491.

Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomke (zadaci 188-189):

2x2−7x+32x2+3x−2\frac{2x^2 - 7x + 3}{2x^2 + 3x - 2}
REŠENJE ZADATKA

Da bismo skratili razlomak, potrebno je da rastavimo na linearne činioce kvadratne trinome u brojiocu i imeniocu. Koristićemo formulu za rastavljanje ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2). ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) .

Prvo rešavamo kvadratnu jednačinu u brojiocu 2x2−7x+3=0 2x^2 - 7x + 3 = 0 kako bismo našli njena rešenja x1 x_1 i x2. x_2 .

x1,2=−(−7)±(−7)2−4⋅2⋅32⋅2x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}

Računamo vrednost pod korenom (diskriminantu) i nalazimo rešenja.

x1,2=7±49−244=7±54x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}

Rešenja kvadratne jednačine u brojiocu su:

x1=124=3ix2=24=12x_1 = \frac{12}{4} = 3 \quad \text{i} \quad x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Sada možemo da zapišemo brojilac u faktorisanom obliku. Množenjem drugog faktora sa 2 oslobađamo se razlomka:

2x2−7x+3=2(x−3)(x−12)=(x−3)(2x−1)2x^2 - 7x + 3 = 2(x - 3)(x - \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x - 1)

Zatim rešavamo kvadratnu jednačinu u imeniocu 2x2+3x−2=0. 2x^2 + 3x - 2 = 0 .

x1,2=−3±32−4⋅2⋅(−2)2⋅2x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2}

Računamo diskriminantu i rešenja za imenilac.

x1,2=−3±9+164=−3±54x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}

Rešenja kvadratne jednačine u imeniocu su:

x1=24=12ix2=−84=−2x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{i} \quad x_2 = \frac{-8}{4} = -2

Zapisujemo imenilac u faktorisanom obliku. Množenjem prvog faktora sa 2 oslobađamo se razlomka:

2x2+3x−2=2(x−12)(x+2)=(2x−1)(x+2)2x^2 + 3x - 2 = 2(x - \frac{1}{2})(x + 2) = (2x - 1)(x + 2)

Vraćamo faktorisane oblike u početni razlomak:

2x2−7x+32x2+3x−2=(x−3)(2x−1)(2x−1)(x+2)\frac{2x^2 - 7x + 3}{2x^2 + 3x - 2} = \frac{(x - 3)(2x - 1)}{(2x - 1)(x + 2)}

Skraćujemo zajednički činilac 2x−1 2x - 1 (uz uslov da je x≠12 x \neq \frac{1}{2} ) i dobijamo konačan rezultat:

x−3x+2\frac{x - 3}{x + 2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti