1540.

199.đ

TEKST ZADATKA

Rešiti kvadratne jednačine, gde su m, m , n, n , a, a , b b realni parametri (zadaci 199-204):

4x2−4ax+a2+1=04x^2 - 4ax + a^2 + 1 = 0
REŠENJE ZADATKA

Određujemo koeficijente date kvadratne jednačine oblika Ax2+Bx+C=0: Ax^2 + Bx + C = 0 :

A=4,B=−4a,C=a2+1A = 4, \quad B = -4a, \quad C = a^2 + 1

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine po formuli D=B2−4AC: D = B^2 - 4AC :

D=(−4a)2−4⋅4⋅(a2+1)D = (-4a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (a^2 + 1)

Kvadriramo i množimo članove kako bismo sredili izraz za diskriminantu:

D=16a2−16(a2+1)=16a2−16a2−16=−16D = 16a^2 - 16(a^2 + 1) = 16a^2 - 16a^2 - 16 = -16

Pošto je diskriminanta negativna (D=−16<0 D = -16 < 0 ) i ne zavisi od parametra a, a , zaključujemo da jednačina za svako realno a a ima jedan par konjugovano kompleksnih rešenja.

Koristimo formulu za rešavanje kvadratne jednačine:

x1,2=−B±D2Ax_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}

Zamenjujemo poznate vrednosti koeficijenata i diskriminante u formulu:

x1,2=−(−4a)±−162⋅4x_{1,2} = \frac{-(-4a) \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 4}

Znamo da je koren iz negativnog broja kompleksan broj, pa važi −16=4i. \sqrt{-16} = 4i . Sređujemo izraz za rešenja:

x1,2=4a±4i8x_{1,2} = \frac{4a \pm 4i}{8}

Izvlačimo zajednički činilac 4 4 ispred zagrade u brojiocu i skraćujemo razlomak sa 4: 4 :

x1,2=4(a±i)8=a±i2x_{1,2} = \frac{4(a \pm i)}{8} = \frac{a \pm i}{2}

Konačna rešenja date kvadratne jednačine su:

x1=a+i2,x2=a−i2x_1 = \frac{a + i}{2}, \quad x_2 = \frac{a - i}{2}