3575.

241.a

TEKST ZADATKA

Na osnovu datih prostih proporcija napisati produženu proporciju oblika x:y:z=⋯: x : y : z = \dots : y:3=4 y : 3 = 4 i z:x=7:3 z : x = 7 : 3 ;

REŠENJE ZADATKA

Analizom postavke zadatka primećujemo da prva jednakost y:3=4 y : 3 = 4 ne predstavlja proporciju između dve nepoznate, već jednačinu iz koje možemo direktno odrediti vrednost nepoznate y. y . Prvo ćemo rešiti zadatak tačno kako je napisan.

Iz prve jednakosti računamo vrednost nepoznate y. y .

y:3=4  ⟹  y3=4  ⟹  y=12y : 3 = 4 \implies \frac{y}{3} = 4 \implies y = 12

Druga data proporcija je z:x=7:3. z : x = 7 : 3 . Nju možemo izraziti uvođenjem parametra proporcije k k (k≠0 k \neq 0 ).

{z=7kx=3k\begin{cases} z = 7k \\ x = 3k \end{cases}

Sada možemo zapisati produženu proporciju zamenom dobijenih vrednosti za x, x , y y i z. z .

x:y:z=3k:12:7kx : y : z = 3k : 12 : 7k

Napomena: U ovakvim zadacima se najčešće očekuje da su sve promenljive međusobno povezane proporcijama. Vrlo je verovatno da je u tekstu zadatka napravljena štamparska greška i da je prva proporcija zapravo glasila x:y=3:4. x : y = 3 : 4 . Prikazaćemo i rešenje za taj slučaj, jer se tada brojevi idealno uklapaju.

Pretpostavimo da su date proporcije x:y=3:4 x : y = 3 : 4 i z:x=7:3. z : x = 7 : 3 . Da bismo ih spojili u produženu proporciju, potrebno je da zajednička nepoznata (u ovom slučaju x x ) ima isti odgovarajući broj u obe proporcije.

Drugu proporciju možemo obrnuti kako bi nepoznata x x bila na prvom mestu.

z:x=7:3  ⟺  x:z=3:7z : x = 7 : 3 \iff x : z = 3 : 7

Sada posmatramo sistem od dve proporcije:

{x:y=3:4x:z=3:7\begin{cases} x : y = 3 : 4 \\ x : z = 3 : 7 \end{cases}

Pošto se nepoznata x x u obe proporcije odnosi na isti broj (broj 3), možemo direktno spojiti ove dve proporcije u jednu produženu proporciju.

x:y:z=3:4:7x : y : z = 3 : 4 : 7