1792.

326.v

TEKST ZADATKA

Rešiti sistem kvadratnih jednačina:

{x+xy=55y+xy=60\begin{cases} x + xy = 55 \\ y + xy = 60 \end{cases}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da obe jednačine sadrže član xy. xy . Izolujemo xy xy iz obe jednačine.

{xy=55−xxy=60−y\begin{cases} xy = 55 - x \\ xy = 60 - y \end{cases}

Izjednačavanjem desnih strana dobijamo vezu između x x i y: y :

55−x=60−y  ⟹  y−x=5  ⟹  y=x+555 - x = 60 - y \implies y - x = 5 \implies y = x + 5

Sada zamenimo y=x+5 y = x + 5 u prvu jednačinu sistema x+xy=55: x + xy = 55 :

x+x(x+5)=55x + x(x + 5) = 55

Sređujemo dobijenu kvadratnu jednačinu po x: x :

x+x2+5x=55  ⟹  x2+6x−55=0x + x^2 + 5x = 55 \implies x^2 + 6x - 55 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu pomoću formule:

x1,2=−6±62−4⋅1⋅(−55)2⋅1=−6±36+2202=−6±2562x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-55)}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 220}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{256}}{2}

Računamo vrednosti za x: x :

x1=−6+162=5,x2=−6−162=−11x_1 = \frac{-6 + 16}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{-6 - 16}{2} = -11

Sada računamo odgovarajuće vrednosti za y y koristeći relaciju y=x+5: y = x + 5 :

Za x1=5:y1=5+5=10Za x2=−11:y2=−11+5=−6\begin{aligned} &\text{Za } x_1 = 5: y_1 = 5 + 5 = 10 \\ &\text{Za } x_2 = -11: y_2 = -11 + 5 = -6 \end{aligned}

Rešenja sistema su uređeni parovi (x,y): (x, y) :

(x,y)∈{(5,10),(−11,−6)}(x, y) \in \{(5, 10), (-11, -6)\}