1835. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

Neka su traženi brojevi $x$ i $y .$ Na osnovu teksta zadatka postavljamo sistem jednačina:

\begin{cases} x \cdot y = 180 \\ (x + 3)(y + 3) = 270 \end{cases}

Množenjem zagrada u drugoj jednačini dobijamo:

xy + 3x + 3y + 9 = 270

Kako iz prve jednačine znamo da je $xy = 180 ,$ možemo to zameniti u dobijeni izraz:

180 + 3(x + y) + 9 = 270

Sređujemo jednačinu kako bismo našli zbir brojeva $x+y :$

\begin{aligned} 189 + 3(x + y) &= 270 \\ 3(x + y) &= 270 - 189 \\ 3(x + y) &= 81 \\ x + y &= 27 \end{aligned}

Izražavamo jednu nepoznatu preko druge, na primer $y :$

y = 27 - x

Zamenjujemo dobijeni izraz za $y$ u prvu jednačinu $x \cdot y = 180$ i dobijamo kvadratnu jednačinu:

\begin{aligned} x(27 - x) &= 180 \\ 27x - x^2 &= 180 \\ x^2 - 27x + 180 &= 0 \end{aligned}

Rešavamo kvadratnu jednačinu primenom formule $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} :$

x_{1,2} = \frac{27 \pm \sqrt{(-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180}}{2}

Računamo vrednosti pod korenom i nalazimo rešenja za $x :$

\begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{27 \pm \sqrt{729 - 720}}{2} \\ x_{1,2} &= \frac{27 \pm \sqrt{9}}{2} \\ x_{1,2} &= \frac{27 \pm 3}{2} \end{aligned}

Dobijamo dva rešenja za $x$ i odgovarajuće vrednosti za $y :$

\begin{aligned} x_1 &= \frac{30}{2} = 15 \implies y_1 = 27 - 15 = 12 \\ x_2 &= \frac{24}{2} = 12 \implies y_2 = 27 - 12 = 15 \end{aligned}

U oba slučaja dobijamo isti par brojeva. Zaključujemo koji su to brojevi:

\text{Traženi brojevi su } 12 \text{ i } 15.

349