3154. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Dokazati skupovne jednakosti: $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C .$

REŠENJE ZADATKA

Da bismo dokazali jednakost dva skupa, pokazaćemo da proizvoljan element $x$ pripada levoj strani jednakosti ako i samo ako pripada desnoj strani. Koristićemo definiciju unije skupova: $x \in X \cup Y \iff x \in X \lor x \in Y .$

Započinjemo od leve strane jednakosti i primenjujemo definiciju unije.

x \in A \cup (B \cup C) \iff x \in A \lor x \in (B \cup C)

Ponovo primenjujemo definiciju unije na izraz u zagradi.

\iff x \in A \lor (x \in B \lor x \in C)

Koristimo svojstvo asocijativnosti za logičku disjunkciju (operacija ILI, $\lor$ ).

\iff (x \in A \lor x \in B) \lor x \in C

Primenjujemo definiciju unije u obrnutom smeru na izraz u zagradi.

\iff x \in (A \cup B) \lor x \in C

Još jednom primenjujemo definiciju unije kako bismo dobili desnu stranu jednakosti.

\iff x \in (A \cup B) \cup C

Pošto smo pokazali da element pripada prvom skupu ako i samo ako pripada drugom skupu, zaključujemo da su skupovi jednaki. Ovim je dokaz završen.

A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C

50.a